Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
? dim Jt (с) = S [/о (0-/(01 = /"?(12,''] /?(0,6]
Г
H I/o (0) -/ (0)] =/.. (tr)-f(tl)- 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
247
Согласно теореме 9.22, индексная форма отрицательно определена в том случае, если с свободна от сопряженных точек, так что / (0 = 0 для всех t < t1. Отсюда в силу непрерывности / слева получаем, что / (Z1) = O. Поэтому {а, ^ dim Jt (с) = /0 (tr).
Из того, что /о постоянно на [tr, b ], имеем /„ (/,.) = /„ (b). Следовательно,
Ц dim Jt (с) = /0 (tr) = /„ (Ь) = Indu (с I [a, Ц),
і ? (а. Ь]
что и доказывает равенство (9.20).
Таким образом, доказательство теоремы Морса об индексе свелось к установлению непрерывности отображения / слева, а отображения /„ справа. Заметим прежде всего, что функции / и /« являются неубывающими (т. е. / (/) / (s), /0 (t) ^ /0 (s), если / ^г s). Зафиксируем для этого tu t.2 <z {a, b], tx < /2. Пусть C1 = с I [0, Z1] и C2 =--= с| [0, /2]. Вложение г: FJ-(C1)-VFJ-(C2), задаваемое формулой
( Y (t) для а < t < Z1, ''^H 0 для /,</</„
R-линейно. Это отображение обладает следующим свойством: / (У, Y) = / (г (У), г (F)), где индексы вычисляются относительно C1 и C2 соответственно. Поэтому, если A Cz F01- (C1) —линейное подпространство, на котором индексная форма геодезической C1 положительно (полу)определена, то г (Л)—линейное подпространство пространства F01 (с2), на котором индексная форма геодезической е., положительно (полу)определена и dim Л = = dim і (Л). Тем самым / (Z1) = Ind (с| [0, Z1I) < Ind (с| [0, I1]) = = / (/,). Неравенство /0 (Z1) < /() (Z2) доказывается аналогично. Таким образом, /0 и / не возрастают.
Чтобы исследовать свойства непрерывности функций / и /0, зафиксируем произвольное ? ? (a, b J и изучим непрерывность / и /о в Т, используя тот же прием аппроксимации, что и в доказательстве леммы 9.26. Из того, что с ([а, Ь]) — компактное подмножество многообразия М, вытекает существование положительной постоянной б > 0, такой, что для любых S1, s., ? [a, b J, связанных соотношениями I S1 —S2 I < б и S1 < S2, геодезический сегмент C I Is1, S2J свободен от сопряженных точек. Выберем разбиение a = t0 < tx <... < th = Ї так, чтобы | tt —ti+1 | < б для любого і = 0, 1, ..., k — 1. Пусть J cz [a, b] —открытый промежуток, содержащий Ї, для всех точек t которого выполняется неравенство I t — 4-і I < б. Обозначим через J (Ct) конечномерное R-линейное подпространство FJ-(с |[0, ?]), состоящее из всевозможных векторных полей Y, для которых Y I [tj,tj+i], где / = = 0, 1, ..., k —2, и Y I Uh^, t] —якобиевы поля. Согласно 248 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
лемме 9.26, / (t) равно индексу формы I, ограниченной на J (ct) X J (ct), а /о (t) — квазииндексу формы I, ограниченной на J (ct) X J (ct).
Положим E = N (с (Z1)) X • • • X N (с (4-і)). Множество E замкнуто вследствие того, что каждое N (с (tt)) = (о ( Tc ^^М:
(и, с' (tt)) = 0) является замкнутым подмножеством простран-ственноподобных касательных векторов. Полагая ((и, w)) = = І]/=! (Щ, Щ) Для V = (D1, ..., Vk^), w = (шъ ..., wh_j) Q Е, определяем евклидову метрику произведения (( , )): E X E -> SR. Тогда, согласно замечанию 9.2, S = [v Q Е: ЦиЦ = 1} компактно.
Если YQJ (ct), то по определению имеем Y (0) = Y (t) = 0. Ввиду того что с I [ti, ti+1] не содержит сопряженных точек, для любых V Q N (с (tt)) и w Q N (с (ti+1)) существует единственное якобиево поле Y вдоль с, удовлетворяющее условиям Y (tt) = V и У (ti.i-i) = w- Так как (Y, с') |t является линейной функцией переменной / И (V, с' (ti)) = (w, с' (ti+1)) = 0, ТО (У, с') |( == 0 для всех t. Следовательно, отображение
<pt: J (ct) -> E, определенное для / Q J по правилу
(Pt (Y) = (Yff1), .... У (4-і)),
является изоморфизмом. Для каждого t Q J квадратичная форма Qt: E X E -> R определяется следующим образом: Qt (и, v) = = / (ф71 (и), ф^1 (и)). Согласно лемме 9.26, для каждого t Q J /о (0 равно квазииндексу квадратичной формы Qt на E X Е, a / (t) — индексу квадратичной формы Qt на E X Е.
Определим отображение Q : Ex E X J R, применяя построенную выше форму Qt: Q (и, v,t ) = Qt (и, v). Чтобы доказать объявленные выше свойства непрерывности отображений / и /0, убедимся сначала в том, что непрерывно отображение Q. Положим В = [Y I [0, 4-і]: YQJ (Cf)}. Множество В изоморфно Е\ соответствующий изоморфизм ф: В -> E задается по правилу
ф (У) = (У Cl). .... У M-
Тогда
Q (и, v,t) = I (ф71 (и), ф71 (V)) = / (ф"1«, ф"у) - (Хи, t, у;, ^ft i,
где Xlht и Yv,t —якобиевы поля вдоль с:
Xu, ( = ф71("Ж4-1, t]
и
Yv, t = ф71 (V) I [4-і. Ц. 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
249
Вследствие того что отображение (и, и) -> / (ф-1 (и), ф"1 (и)), переводящее ExE в R, является билинейной формой, получаем, что отображение (и, v,t) -+ / (ф-1 (и), ф"1 (v)) безусловно непрерывно. Согласно предложению 9.16, отображение (и, v, t) -+ -+-(Xiht, Y'v, і") I l также непрерывно. Тем самым непрерывность отображения Q: E X E X J-+ R установлена.
Наконец, мы готовы показать, что функция /0 непрерывна справа, а функция / непрерывна слева для любого ? (а, Ы. Ввиду того что отображение /, согласно лемме 9.26, является конечнозначным, можно выбрать подпространство А пространства Е, у которого dim А = f (t) и Q (и, и, ?) > 0 для всех и ? А, и Ф 0. Так как Q: E X E х J -+ R непрерывно, а 5 = [и Є ? Л: I ы H= 1} компактно, то в і существует окрестность J0 точки ?, такая, что Q (и, и, t) > 0 для всех t ? J0 и и ? S. Следовательно, форма Qt j А X А положительно определена для любого t ? J0. Тем самым / (t) / (?) для всех t J0. Из того, что функция / неубывающая, вытекает, что f (t) = f (?) для всех t Є (с Jо, подчиненных условию і < t. Таким образом, функция / непрерывна слева.
