Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Последние два семейства образуют биортогоиальиую систему в области х, у ^Q1 лг + у^іс весом xl-1 yV-1. Ряды
_ „„ / т л 1 ml л _ s.l \ ...
xmynFt ^ g-, 2",2 2>2 "2"' n 2 ^* ^ ) (4>
(которые могут быть выражеиы через F2) и
xmvnF / ¦» * ]__¦» 5 ¦ 1 л«+у»-1\
2'2'2 2'2 2 ' 2 2 ' л* ' у j ,0>
встречаются в исследованиях по гиперсферическим гармоникам.
Все эти частные случаи изучены в монографии Аппела и Кампе-де-Ферье.
5.14. Другие ряды
Гипергеометрические ряды высшего порядка от двух переменных изучались Меллином, Биркеландом, Кампе-де-Ферье Гсм. Appell, Kampe de Feriet, 1026, гл. IX) и Ьерчнеллом и Ченди (Burchnau, Ghaundy, 194!, Burchnall, 1942 и Chaundy, 1942). Гипері еометрические ряды от трех переменных были изучены Горном (Horn, 1889); ряды от п переменных — Лауричелла (Appell, Kampe de Feriet, гл. V11) и Эрдейи (Erdelyi, !937, 1939 а). Частные случаи рядов Лауричелла встречаются в исследовании по гиперсферическим іармониїим.
Обобщение базисных ішіергеометрических рядов на случай двух переменных дано Джексоном (Jackson, 1942, 1944), ГЛАВА 6
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
6.1. Предварительные замечания
Положим в гипергеометрическом ряде Гаусса
X
Z= —, и предположим, что ни а, ни с не являются ии нулем, ни отрицательным целым числом. Мы получим степенной ряд по х, радиус сходимости которого равен | b | н который определяет аналитическую функцию с особыми точками л: = 0, b и оэ. Если ft — оо, то в пределе получаем целую функцию, для которой особая точка х = со возникает в результате слияния
двух особых точеіидля F^a, Ь\ с; -^pj. Таким образом, появляется ряд Куммера
, , ах, а(а + 1)х8 ,
1+ттт+^+тт2Г+••• (1)
В обозначениях, используемых для обобщенных гипергеометрических рядов 4.1(1) эта функция запишется как ^(в; с; лг). Но в этой главе и в следующих двух главах ряд (1) будет обозначаться символом Гумберта
Ф (а, с; х).
Иногда также применяют обозначение M (а, с, х).
Ряд (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Подстановка
L —
2 2 1
у = X е г, a = -j — А + (і, с = 1 + 2 ц (3)
приводит (2) к стандартной форме Уиттекера
1 238
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &
Каждое из этих уравнений называют вырожденным гипергеометрическим уравнением и любое решение их называют вырожденной гипергеометрической функцией; а и с (или Лиц) называют параметрами, х— переменной
В этой главе изучение вырожденной гипергеометрической функции будет осиоваио иа уравнении (2), но некоторые иаиботее важные "результаты будут даиы в обозначениях Уиттекера.
6.2. Дифференциальные уравнения
Уравнение б 1(2) явтяется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка, коэффициенты которого линейно зависят от независимого переменного. Можно показать, что, обратно, любое такое дифференциальное уравнение может быть проинтегрировано с помощью вырожденной гипергеометрической функции. Пусть
является таким дифференциальным уравнением. Если а0 = а, = а2 = 0, то уравнение имеет постоянные коэффициенты и может быть проинтегрировано в элементарных функциях. Исключим этот случай. Тогда преобразование
у = еЛхг, лг = Х6+ (і, (X^O) (2)
приводит уравнение (1) к виду
(«об + W^- + <«.6 + Ь)-^ + («.Є + М*=0і (3>
где
Я1=Д'(Л), as = X А (А),
A (h) = ar„ A2 -f а, A + ®s, А' (А) = 2а0 А + а„
B(h) = b0hi + b1h + bt, В' (h) = 2b„h + bl. (4)
Если можно определить X, ц и А так, что
а^ + Ь„= 0, а„+ХА'(А) = 0, Л (A) = O,
то уравнение (3) сводится к 6.1 (2). В других случаях замена независимой переменной сводит (3) к вырожденному гипергеометрическому уравнению или к уравнению Бесселя. Результаты указаны в таблице на следующей странице, іде $ (а, с, х) обозначает любое решение 6.1 (2) и Cv (х)— любое решение уравнения Бесселя
, „ rfj, -f(x2 —v2)_y = 0. (5)
dx2 ' dx
Сведение уравнения (1) к вырожденному гипергеометрическому уравнению не является однозначно определенным, поскольку 6.1 (2) может быть различными методами преобразовано к уравнению того же типа. Если положить
х = \% у = XtehxZ, (10) «.2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 239
Приведете уравнении {айх + д0) у" + іяіх + t>i) у' + \а3х + 62)_у=о
у = ChxZ, * = *Е + Ц, A (ft) = а0Л2 + aih + а.. Л'(Д) = 4г. art В (ft) =ft0fts + &ift + ft3l B' (ft) = -Ц
Предпо іожения А X г Параметры
а0 ^to1 D1^l al~4аQds^=O -ei + D 2о0 во A'iftl __Ьй_ во с, Єї в = В (ft>/A4ft) С = (в0Й1 — ві&о) ej2 (Bi
O0 = 0, аіфП в> »I I В'(ft) »1 с^в. 1 № a = B ift)/(2ei), It = - ai/(2io) <7)
O0 ф 0, af=4а(,а2 «і 2а0 Ой -і», во IaC2Jyi1'*) в= j - В'іЛ)/(2ввІ, 9 =2 [В (ft)]1/8 (8)
O0-=Oi=- 0. ОІФО Ь і 2&о 1 ІЬфі - b\ E1/sCi/s(«Vs) к = -§- (as/»o)1/s (9)
то дифференциальное уравнение 6.1 (2) преобразуется в
+ | р(р + с—l)_X(g_hcJr9_2Ар) + Х8А(А — 1)ф = 0. (U)
Это есть дифференциальное уравнение для S («, ъ ?), если
р = 0нлн1—с, A = O или 1, Х(1—2А) = 1,
a = X (а — Ac) -}- р, 7 = с + 2р. (12)
Таким образом, если считать тождественное преобразование, уравнение ¦6,1 (2) может быть четырьмя различными путями преобразовано в уравнение того же самого вида.
