Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
?-.1 — п (с) Ш ?48 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. 6
показывающее, что функция Ф* = ^ ^ x^- является целой функцией
от обоих параметров и от переменной. Эта функция и в других отношениях имеет более простое поведение, например, некоторые из формул дифференцирования в п. 6.4 упрощаются, если выразить их через Ф*,_
Отсюда следует, что если с является целым числом, то функция Ф дает лишь одно решение вырожденного уравнения. Если с = 1, то и yt совпадают. Если с = 2, 3, ..., то у2 не существует. Хотя выражение ^s—-
-L (Z С)
стремится к конечному предел\, когда с приближается к одному из целых чисел, больших 1, равенство (12) показывает, что этот предел отличается от_у, лишь числовым множителем и, следовательно, не приводит к новому решению. При с= О, —1, —2, ... ситуация аналогична, за исключением того, что у1 и у2 меняются ролями. Если с является целым числом, то у, или ys дают одно решение, а второе решение содержит логарифмические члены. Оно мо^кет быть получено с помощью обычного метода Фробениуса.
Отправным пунктом другого подхода к особому случаю является функция If. Интегральное представление 6.5(3) определяет функцию 1F для всех значений с и показывает, что она всегда удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению. Если с не является целым числом, то 6.5(7) дает разложение для Ф- по возрастающим степеням х. Если с—целое число, то достаточно рассмотреть случай, когда с = 1 —(— /г, где га = 0, 1, 2, ... При ? = 1-(- га оба члена в правой части 6.5(7) обращаются в бесконечность и разложение по возрастающим степеням х может быть получено либо путем непосредственного предельного перехода с —>• п +1 в 6.5 (7), либо прямо с помощью 6.5(5). Опишем кратко второй метод.
Если с = га-[-1, то подынтегральная функция в 6 5(5) имеет простые полюсы в точках S=—п, —/1-)-1,-.., —1 и двойные полюсы в точках s = 0, 1, 2, ... (если и = 0, то имеются только двойные полюсы). Вычет функции r(a-j-s)r(—s)T(—и — s)x~s в простом полюсе s = г—п, г = О, 1, ..., п — 1, равен
±=1УЦТ(а— п + г)Т(п— г)хг-«, вычет в двойном полюсе S = г, г = О, 1, 2, ..., равеи
{~гЦп + г)І"Г) Iln * + * (g + г)- -Hl + г) —P 0 + » + г)]
где (Hz) — логарифмическая производная для Г (г) (см. 1.7). Вычисляя интеграл 6.5(5) как сумму вычетов подынтегральной функции в полюсах, лежащих справа от пути интегрирования, получаем
*(<ц П+І; X)= J1J1.^, {ф (а, И 4-1; *) In* +
(ду
и
г^О
1
(Я-І)і"\? {a-n)rXr-n Г (в) Zo-я)г П ' U1 1, 2, ... (13)
г=О
Если и = 0, последняя сумма опускается. Соответствующее разложение для W(а, 1-й; х) получается из (13) и 6.5(6). 6.8] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ чг 249
Некоторые формулы в логарифмическом случае упрощаются. Напримір, покажем, что функция
/(e)e(-«-+2 -jL) Ф«,,,;*) (14)
при целых значениях с может быть выражена через вырожденную гипергеометрическую функцию. Так как
-?- («)« = («). №(«+«> - + Wl
где i/(z)—логарифмическая производная в гамма-функции, то почленное дифференцирование 6.1 (1) дает
OO
/<е> = 2 (5Г № (e + r) ~ * {а)-2t^c + r) + (")! "7Г-
г= О Г
Сравнивая с (13), при и = О получаем
/(1) = [24- (1) - ф (в) - In х] Ф (о, 1; *) - Г (в) V (а, 1; х). (15)
Соответствующий результат для /(1+и) при я — О, 1, 2, ... может быть получен с помощью 6.4(13).
6.8. Дальнейшие свойства функции W
Подобно функции Ф функция W является предельным случаем гипергеометрической функции Гаусса. Именно
IimFla, Ir, с; \--= а— Ъ + 1; х) (1)
C-OO \ xI
(Erdelyi, 1939). Доказательство основано на 6.5(7) и разложении F (\--j-j
по возрастающим степеням х.
Поведение функции W при малых х может быть изучено с помощью 6.5(7), 6.7(13) и соответствующих формул, когда с равно нулю или является отрицательным целым числом. Результаты сведены в таблицу:
V (е. с; .t) при малых х
с IF
Reo I 1 — с Г (с — 1) * Г (в) +* 12)
Re с < I Г<1-с) Г (а - с + 1) * (3,
Re с = 1, с ф 1 ГИ-С1 г(с-1) 1-е Г (в — с + 1) Г (в) ^ (4)
C = 1 - (In ar + ф (в) - 2ї1 + Я (5) 250 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &
Порядок остаточного члена виден из следующей таблицы: H=O (в)
с а
Re с 2=2, сф2 JjtI Re с — 2 (6\
с = 2 I la*I (7)
1 < Re с < 2 1 (8)
Rec= 1, с ф 1 1*1 (9)
C = 1 I * In X I (10)
0 < Re с < 1 , ,I-Rec 1*1 (H)
Re с == 0, с ф 0 1*1 (12)
с = 0 I je Iogr JCI (13)
В соответствии с условием п. 6.6 отрицательная вещественная полуось является разрезом для функции f. Обозначим через /(—? + t0) прецел /(—$ г?;), когда Ij-'0, пригимая положительные значения, и аналогично определим /(—? — Ю). Из 6.5(7) следует
ЧГ(а, с; -5±Ю)(а, с;
-t^-" + 2-е; -5) =
Ій^Цф^-а,^)-
Г (a —с + 1)
T(C-I)
е* Ыс S1-cO (1 - а, 2 - с; 5)j, (14)
Г (a)
где 5>0 и всюду надо брать верхние, либо нижние знаки. В частности, L = W (а, с; — 6 + Ю) — W(а, с; — S-Ю) =
2 %1
Г (а) Г (2 — с)
51-сФ(а —с + 1, 2 —с; —5). (15)
Так как вывод этой формулы основан на 6.5(7), то сначала приходится исключать целые значения с. По непрерывности формула остается справедливой и прис=1, 0, —1, —2, ... При с = 2, 3, 4, ... правая часть «.gj ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА 251
