Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
* х.„ * T-7
Fs X, у Ht JL, -J,
Hl х, у Ft -І-,- -у 234 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
Преобразования и формули приведения для частных значений параметра
Ряды I Si Ограничения Є' + T = « +1 = T T=2jS и т'=2?' T' = 2?' н ? + ?' = „ + I Преобразуются в к ft , С ограничениям» 1> = 7' нет нет « + 7 = 1 нет т+Т==+»
F, Fi ? + T' = « + l
% % P = ?' ¦ ї + ї' = « + 1 ? = P' и T +T'= = + 1 T + T' = « + I=2-? = 2-?' «Т«' = Т «t +1) = 1 иа + а' = т Fi O1 Pt к 7+Ґ==+1 нет нет нет нет
Fi ? = a+i- Hi 8 = 2,3
& H2 И] ? + T' = 4 + l t = 23 ? = і и а + 8 = 8 1 + 3 = 1, i-|-s = i Hi H1 % ?+T=a+l неї а + 8 = е нет
Например, первая строка в этой таблице показывает, что если в ряде F1 (а, р, P', у; х, у) выполняется условие р* —|— f = <* —{— 1, то он может быть выражен через ряд F1 (а, р, 7, f; х, у), где новые а, ?, 7, f (в Fi) зависят от параметров Fv так что в Fi $ = у', ъ х и у в Fi зависят от переменных в F1.
Эта таблица показывает, что ряды F1, F3, Q1, G3, Gt, Hs, Ht, Hi, He и Ht при любых значеннях параметров могут быть выражены через Fs и, следовательно, вырожденные ряды, которые являются их предельными случаями, могут быть выражены через предетьные случаи F2. Таким образом, получен следующий результат: все гиперіеометрические ряды второго порядка от двух переменных, за возможным исключением Fi, H1, Hb и H1, моїут быть выражены через Fs или ею частные и предельные формы. Это приводит к соответствующей теореме для систем дифференциальных уравнений в частных производных, связанных с этими рядами (см. также п. 5. 9). До сих пор неизвестно, являются ли при произвольных значениях параметра ряды Fv H1YiHb независимыми от Ft и, следовательно, от других. Однако это кажется правдоподобным.
5.12. Символические формы и разложения
Берчнелл и Ченди (Burchnall, ChaundaV, 1940, 1941) ввели операторы
д,м_Г(*)Г(> + У-М) ,,М_Г(8 + А)Г(8' + А) V W — г (8 + А) Г (8' + А)' К ' — Г (А) Г (8 + 8' + А)'
8^ 1-х' (1)
С помощью этих операторов можно представить функции от Ft до Fi в виде
Fi (а, Р, P', Т, Г; х, у) = V («) F (а, Р; г, х) F (а р'; у'; у), (2)
Ft (а, в', Р, р, Г, X, У) = д (7) F (а, Р; 7; х) F (а', р'; у; у), (3)
F1 (а, Р, P'; V х,у) = ч (а) Д (7) F (а, р; Т; х) F (а, р'; Т; у), (4)
Fi (а, р, 7, 7'; х,у) = ч (в) у (P) F (а, р; у, х) F (а, ?; у'; у). (5) $.12] СИМВОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ 235
Таким образом, с помощью операторов Д и у функции Аппеля факторизу-ются, Берчнелл и Ченди получили также ' преобразования функций Аппеля, имеющие вид
Fl («. ft P', Г, Xi У) = V («) Fi (a, a, ft P', Г. X, У), (6)
Fi (о, ft P', г, X, у) = А (7) Fs (a, ft ?', f, Т; X, у), (і)
Fi (о, ft ї, f; х, у) = у (р) F2 (a, р, ft т, у; х, у) (8)
я некоторые другие.
Эти символические формы были использованы для нахождения разложений функций Аппеля по другим функциям, а также функций Аппеля по произведениям обычных гипергеометрических функций и обратно. Чтобы дать пример, заметим, что, в силу формулы Гаусса 2.8 (46), для F(а, р ; к; 1) имеем символическую запись
/м у (-aM-Sy V(A) = Z-Щ^ї--
Таким образом,
(-»)rF(a, р; г, = р + г; т + г, х)
и, следовательно, (2) приводит к разложению Fs (a, ft р', ъ Г; У) =
СО
e2 ^tRgr F(a + г' Р + t+r- х) *>(* + г. F + п Г + г; У). (9) Используя обращение (2) в виде
F (а, Р; г, x)F(a, ?'; f, у) = Д (a) F2 (a, ft p'; 7, f; x, у) и соответствующее разложение Д (о), иаряду с (9) получаем формулу
со
F (а, ?; г, x)F(a, P'; f; у) = %~Г *У X
г=0 Г Г
XF2(a + r, Р+Г, Р' + Г, 7 + г, Г+ г, Х,у). (10)
Это разложение может быть доказано без использования символических методов, путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х и у в обеих частях.
С помощью этого метода Берчнелл и Ченди получили 15 пар разложений, содержащих функции Аппеля и обычные гипергеомегрические функции, а также значительное число разложений, содержащих гипергеометрические ряды высшего порядка и вырожденные гипері еометрические ряды Гумберта Ф, Ф' и S. Полезны также методы интегральных представлений (таких, как 5.8(4)) и формул интегрирования.
Существует много др)іих разложений, содержащих функции Аппеля и обычную гиперхеометрическую функцию. Особенно важной является 236 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S билинейная производящая функция для многочленов Якоби
OO
2 («+l^+l). (2« + a + P + l)*nPn<M'(cos 2 9) Pn «S P'(cos 2 ?) = я=0
_(« + P+l)0-Q F (* .P ¦ , ¦ , P , » . . 0,. es is\ --(1 + 4 i2~l"2~l~'2~+"2~+"2, ~+"'p~+"'F'?»j>
где a = sin if sin (p. ^ = cos if cos ip, -\-yY ^(Bailey, 1935, стр. 102,
пример 19).
5.13. Частные случаи
Обобщая многочлены Якоби иа случай двух перемеииых, Аппель изучил следующие семейства многочленов (т и л—неотрицательные целые числа):
_(1 — у)Т+Т'~а дт+п [(1— л:— уу+т+п 7-гі
я (7)/п(ї')л;с1_1.У дхт дуп L X1-I-Ky1-Y-" J-
= (1—*— yY**F9{j+i— <*—т—в,— т, — л,7, ^х+Ху__1>х + Уу_1Уп
= FS(— т— л, 7 + т.т + я, 7, f; л:, у), (2)
^bib =/7, (7+Y+ їв+ л, — т,— л, 7, 7'; х, у). (3)
