Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
F, («, «', Р, P', Г, у) = (2itiy Г (1 - р) Г (1 - р') Г (Т) X (1+, о+, 1 —.0—).
X S (- tr1 (t-1)!"-1 F (a, Р; р; tx) F [«', ft р-: (1 _ t)y\ dt, (7)
где р + р' =7. Во всех случаях путем специального выбора р можно выразить одну из гипергеометрических функций в подынтегральном выражении через элементарные ф)нкцни, но при общих значениях параметров невозможно выразить все подынтегральное выражение через элементарные функции.
Функция Fi, как и выше, является более трудной для изучения: неизвестно ни одного обычного интеграла, позволяющего факторнзовать Ft. С другой
>/а8 Г. Бейтмен, А. Эрдейн — iSSu 226 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ГГл 5
стороны, известно интегральное представление (Erdelyi, 1941, равенство (3))
Pi («, Р, 7. 7'; У) = (2«ІГ Г (7) Г (Г) Г (2 —r - f) X I+, о+, I—, о—
X J (-ГЧ'-Щ'/Ч«,?; 7 + r + n 7+1?)^' (8)
у і
в котором вдоль контура выполняется неравенство — + < ¦ т < 1. Это
I * " г і
представление сравнительно просто и является полезным для интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных, связанной с функцией F1.
5.8.3. Двойные интегралы типа Меллииа — Бернса. Согласно Аппеяю н Кампе-де-Ферье четыре интегральных представления могут быть записаны в едином виде
У)= Г (а) Г ф)(2%1)* Х
X J J ?(s, t)T(-s)T(-t)(-xy(-yY4sdt, (9)
— too —loo
где контуры интегрирования имеют вырезы обычного вида (см. п. 2.1.3); Ф іФв этих четырех случаях выражаются формулами
*(х, У) 1-(8,0
F Ca. 8 S' УХ vi Г(« + з + <)Г(р + 8)Г(рг + <)
Л к Р. Р. ъ х> у) г(р')Г(т + в + <) ' (10>
F (a BL в т У л: V) Г(« + » + 0Г(р + «)Г(р + <)Г(Г)
/•>(«. Р, Р, 7» Г. *,У) Гф')Г(т + в)Г(т' + <) ' (И>
Fta. of Ь a TX Л Г(« + «)Г(„' + ґ)Г(Р + «)Г(Р + 0
M«. « . Р, Р, т; у) Г(в')Г(р-)Г(Т + 8 + <) ' ( 2)
F (а 6 f i'' X Vl Г(« + д + ОГ(р + , + ОГ(т') ^4(«. Р, Ї, 7> У) r(7 + s)T(f + 0 *
Интегралы такого типа были использованы Меллнном прн изучении гипер-геометрнческих ф} нкции.
5.9. Системы дифференциальных уравнений в частных произнодных
F(m,n) Am,п+G(от, п) Ряды 2 где -J^-- Fimi п), Атп = Q1 (т, п) и
F, /7', G, G1 являются такими же многочленами, как и в 5.7(5), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Эту систему можно записать с помощью дифференциальных операторов
bssxTx и W
в виде
[F'(b, b')x~l-F(i, V)] z = 0,1 IG' (8, Г)у* — а С», »')] 2 = 0.J
(2) 5.9]
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
227
В дальнейшем ограничимся рассмотрением гнпергеометрическнх функций второго порядка В этом случае получаем два дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка.
Эти два уравнения совместны (так как гипергеометрнческая функция удовлетворяет обоим), и нз общей теории таких систем (см., например, Appell, Kampe de Feriet, 1926, гл. 3) вытекает, что они имеют не более четырех, а может быть, н меньше, линейно независимых решений. Полное изучение показывает, что системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, связанные с восемью рядами
F1, Q1, Gv Ф„ Ф2, Ф„, T1 и Г, (3)
из списка Горна, имеют лишь три линейно независимых решения, в то время как остальные 26 систем обладают четырьмя линейно независимыми решенинми каждая. Для систем, связанных с ф>нкциями
Gi, Hi, Н„ Н„ H8 (4)
одно иа решений является элементарной функцией вида xty со следующими значениями р и о:
Ряды 9
Oi -l<« + 2«') -1(2» + «') (6)
Hi, Hj Ї-.-1 « — 2T + 2 їв)
Ht, Hs — «—2p (7)
В следующем списке дифференциальных уравнений в частных производных г является искомой функцией от х и у
дг дг д*г д'г . дгг
pxSI' ч=!ї' * = t=~5f' ()
*0—+ (»+P+I)*!/»—л
у (1 -y)t-xyi + ft' - (« + ?' + l).y] q -ДГ (1 - дг) r +ys + [7-(a + ? + l)x]p - a?* = 0
-?'^rp —ар'г==0 J F*'
у (1-j-X+xs + [7—(«'+F + я—«П ¦¦
х(1-х)г-уЧ-2хуа + 1г-(а + р+1)х]р-
—+ ? + —Ф = 0
У 0 -y)f~x'r-2xy3 + tf -(« + ? +1)q-
_(a-f ?-f l)Jt/> -ф=0
tIJi'
(IO)
(12) 228 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
X (1 + *) Г - J>S - J»** + [ 1 - ? + (а + ? + 1) *] р +
-f(?'_а — + = 0
— аУЯ + aP'2 = о У 0 + У) t-- X (1 +.V) S + [1 - ?' + (а' + ? + 1)y]q-
— o'*p+«'?2=0
* (1 + Ax) г — (4д: + 2) ys + у* + [ 1 — о + (4а' + 6) л:] р —
— 2а'yq -f а'(а' + 1) г = О У (1 + *У) t -X (Ay + 2) s + *!Г + [ 1 - а' + (4а + 6) у] q -
— 2ахр + а(а.+ 1)2 = 0
Gir (13)
(14)
Oi, (15)
— a?z = 0
-У О + У)t + X(l-у) s+ [а-1 -(? +7 + 1)у] q-
—ухр — Vyz = Q
H1,
х(х— 1) г— xys [(а —I— р —I— 1 ^ X —• в] р — $yq a?z =0
} Hit
X (1 — 4х) г + у (1 — 4лг) s—+ [7 — (4а + 6) *] р —
— 2(a+l)yq — a(a + l)z = 0 у (I _у) t + * (1 -2у) S + [Т - (а + ? + l)y] q -
— 2$Хр — a?z = Q
х(\ — 4x)r— 4xys— /f + tr— (4а+4)*]р —
— (&i + 2)yq — а (в + 1)г=0 у (1 — y)t — 2*ys + [S — (a-f?)j»]? — 2?*p — a?z = 0
д. (1 ix) r - у (1 - 4*) s +y« + [1 —r + 4 (а +1) *] p +
+ (За+2)^-а(а + 1)г = в У (1- У) t -xys + 2x*r* + [7 - (a + ? +1) у] q +
+ (2 + a — 2?) xp — ф ш=Ь
