Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
GlUx
О,
a, b, —b, —aj
= І2~2 V^WiLb(Vx) Н'ї+ь(У~х) - Hf_b (Vx) H^b(Vx)], (37)
\
Ой*
1.1 \
-я- + e. -S- — а\ _ _
1 I=V W.a,b(2 VX),
О, 1,6,-й J r
(38)
а, а-\-
1
2 I = х"Кь+ЛУ х) Кь-с (V х), (39)
a + b, а + с, а —с, a — bj У я
5
О,
1
—
X
а< b, — b, — а) 1 sm sm X Ir**'H^Lb(Vx) Hf+b {Ух)-Єь«іну+Ь(Vx)IfJLt (V X)], (40)
<Л\[х
І-» )
a, b, —b, — а'
cos (ait) sin (bit)
X
X [е~»«! H^Lb(Vx)H^+b(f X)+e^№^+b(Vx)HJLo(Vx% (41)
<ЗД X
1 , 1
T + 0' T a
0, 1, b,-b
wa,b (l^iVx)Watb (-21 fx), (42)
-GJI ( X
a — 1, —C1, —cs, C3 — ——b3, —b,
П
A = I
-X0-' X
П r (« + «»>
ft=l
X 4^8 (0 *4" ^n 0 "t" 0 "4" o-{- bt; a C1, a 4- cs, a -f- c„; -x). (43)
•Следующие комбинации специальных функций могут быть выражены через С-функцию:
X*J,(X) = &aii(j+ <44) 5.6]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ G ФУНКЦИИ
215.
= 2147?? -І-*»
(1 V 1
2 2 " 2
(1 V U + I 2 2' H
2 2 ' 2
I^ + -2 2 fl V \
' 2 ~~ 2, •
2 2,
(46> (47>
xf-K, (ж) =
- s 4U4 ^14 + 4- 2+4 + 4' 4 + 4 ' 2 4 + T/' ( >
(*) = V * GftlZx
4
V, — v/
e*K, (X) =-1= cos (vit) Gfi 12x У я \
XV-H4(X) = ^GH
M'
v, — v/
І+Т+Т \
_L I 4 I u V u , V I 2 + TT 2 ' 2 2 ' 2+2/
H1W-Ir1W = ^T COS(v*)G?J I ix»
І+л 2 + 2
1 . V MV
Y +2"' — T' Ty
^ [/,W-L, Wl =
= - Qf-Qii ( 4- ats
1С
U + JL + I 2 + 2 + 2
I1 і 2 Ji . ^ j_l u 2. 2T2' 2+21"2' 2 2 J
x» [U(x)-Ly(X)] =
S„„(*) =
211-1
2+2+2 \
1 і 1 і u. __1 P1Ij'
2 + 2 + 2' 2 2 ' T + 2/ + 1 \
^Kf*'
I-L-t 2
^W =Oflf** 7 ]
\ N,0,-V/,
J.4.U 1. _ 9 "г 2 > 2 '
(49) (50> (51>
(52> (53>
(54b
, (55> (So> 'І16 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 8
л (*)¦/_, W=^GlJ I
i)
о, V, -V/,
(57)
XVft(X)J1(X)-.
=-1= Gl! у я
1 , в Ot _
T +~2' T
уО* + * + ®), ?(* + <»—и), + ^), у(®—Ц—v)
(58)
Зц
Л.МЛМ = ^ 22 °И(й|$ + у. -4--Т' 4' J + !)» (5»>
(60)
(*) К, GfJ (*•
У 1С
1 Іі 2 + 2
• 2 ' 2 ' 2 /»
1 )
v. 0.
jc»-KAx)JAx) =
V
JCI Ах) Klli(X)=
—-T=GfJ
~VV U|>4\64* 4 + 2' 4+2' 4' 4 2)'
(61)
(62)
я <s 1 2' 2"+2
W №«(x) = GH і X»
M 4
1 4_f*
T ~2
fi. fi,
(63)
(64)
(65)
'+f» v+2' 2 5.6]
> ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ "О-ФУНКЦИИ
а 3.1
T1 T T " 2"(vH-IiH-eX yf» + ®—Iі). 2"(I* + в — |і), у(в —V —(*)
Kl _ «І t
х*Ки (хе*)К„ (Xe ОЯ (gj* , J+ j, fH-v, I—v),
Л 2 Wfc«W = GfSI*
/ /-ft+1 \ Г "+'+т- <-*+TJ'
(66)
(67)
(68)
X^Wktm(X)
C=-
Г
(т +—*)г(т—*)
4 + /+1 /-ж + у. т + 1 +
* 2Wkim(X)=Y^ 2k 2G« [2-**
i_ k^k \ 4 T' 4 2 \
J^ и» J__» ж _ml'
2 + 2 ' 2 2 ' T' T}
^xWk, т(2х)-.
(70)
Ух2-<~к+хК а
-TT-гл-г°й ^
XtWtum (2ix) Wbi т (- 2ix)=
1, » 3 , * \
4 + 2' 4 +T \
и» J_ , m _т J_ ml
2' 2 2' 2 ' 2 Т/
(71)
Oill Xя
Y + y+ft, у +
1 ±4-1 A-L
2 ' 2 2* 2 "^m'
I
2~
X1Wkfta(X)W^kita(X)= /
(72)
/ 1 I I \ I 1 1» ^
T + T' T+1' 2+ЛІ+Т' 2~m+2j 218 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
Ь, с, d; ?,/, /;—«) =
T(e)T(f)T(l) M-а, -ь, -с, -d\
Г (в) Г (Ь) Г (?) Г (d) \ I — 1, -в, -I)' f75'
В работах Мейера можно найти много аналогичных формул, в частности, формулы для функций Лежандра и для многих обобщений гипергеометрической функции.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
5.7. Гипергеометрические ряды двух переменных
Большие успехи в изучении теории гипергеометрического ряда одного переменного стимулировали развитие соответствующих теорий для рядов от двух или многих переменных. Аппель определил в 1880 г. четыре ряда I1 — F1 (см. ниже равенства (6)-(9)), каждый из которых аналогичен ряду Гаусса F (а, ?, -ft •*)• Пикар указал, что один из этих рядов тесно связан с функцией, изученной Похгаммером а 1870 г, а Пикар и Гурса построили теорию рядов Аппеля, которая аналогична теории Римана для гауссовского гипергеометрического ряда. Гумберт изучил вырожденный гипергеометр^е-ский ряд двух переменных Изложение этих результатов французской школы со ссылками на оригинальную литературу содержатся в монографии Аппеля и Кампе-де-Ферье (Appell, Kampe de Feriet, 1926), которая является основным трудом в этой области. Эта работа содержит также обширную бибчио-графию, содержащую все существенные работы до 1926 г. Список работ, данный в этой главе, в основном является дополнением к библиографии Аппеля и Кампе-де-Ферье.
Горн (Horn, 1889) дал следующее общее определение: двойной степенной ряд
S AtnXBy* (1)
т, л«=0
является гипергеометрическим рядом, если два отношения
Ат+г,п =/(m> „J „ Лт,_п±і__?(Яі П) (2)
Amn Атп
— рациональные функции от т и п Горн изучич сходимость гипергеометрических рядов от двух переменных и установил систем) дифференциальных уравнений в частных производных, которым они удовлетворяют
Частным случаем гипергеометрического ряда, изученным многими авторами, в частности Меллином, является ряд, для которого Amn есть гамма-произведение, то есть
