Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
то (5) следует из 5.3(1), а если p<.q (или p=q и |*|<1) и выполнено условие (7), то из 5.3(5). Если и равно одному из чнсея й„+1, ..., bq или ? равно одному из чисел а1(..., ап, то (5) приводит к важному функциональному уравнению для Qpq.
Поведение Gp?" при преобразовании Лапласа вытекает из формулы
(8)
справедливой, например, при условиях (6) и (7), причем часть, относящаяся к р, может быть опущена.
Поведение О-функцин при преобразовании Меллина видно из 5.3(1) с условием 5.3(2). Некоторые интегралы от произведений О-функций могут быть вычислены с помощью теоремы о свертке для преобразований Меллина и Лапласа. Некоторые такие интегралы были вычислены Мейером (Meijer, 1936). Мейер хказал также обобщение формулы (5). Преобразование Ганкеля задается формулой
со
J wa H
о *
\ ь„ьг )
(9)210 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
справедливой, например, при условиях (6) и
Re ( — «+-?+*»)>—!. А=1'-|да.
Re (-« + «,)<!, 7=1.....п. (10)
Во всех этих формулах введение контурных интегралов позволяет ослабить ограничение на а (или на ? в (5)). Возможны н другие условия справедливости преобразования Ганкеля, но, за исключением некоторых случаев, рассмотренных в работах Мейера, полного исследования не проведено.
Последний интеграл, содержащий (моднфнцнрованн}ю) ф)нкцию Бесселя, имеет вид
UU
у, а + у. «1. ...,«*! (И>
Di,..., Oq
Эта формула справедлива, например, при условиях (6) и
+ A=I,..., m. (12)
Более слабые условия были даны в частном случае Мейером (Meijer, 1936, равенство (58)).
5.6. Частные случаи G-функции
Очевидно, что Vp4 ((I1,..., ар; blt..., bq-, х).=
9
П T(bi>
-/=1 п\.р ( J 1—«I.....1—ар\ =
-P aP^H-H-jrIoiI-J1..... I-Ve
П r^)
7 = 1
я
П rW
_ 1 =• 1 др. 1 (__L Ь 4I..... V m
—Г 0S+!. Л * a»..., ар J* (1)
П ВД
Сравнивая с 5.2(2) и 5.3(5), получаем
EiP-, v «Р; |І! Jj.
Важность G-функции в значительной степени связан? г возможностью выразить через (/-символ большое число специальных функций, встречаю-
(2)6 6]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ G ФУНКЦИИ
211
шичся в прикладной математике. Поэтому каждая формула, выведенная для <2-ф>нкции, является образцом, по которому можно получить большое число соотюшеннй для функций Бесселя, Лежандра, Уиттекера, для нх комбинаций и родственных нм функций. Для этого можно использовать следующий список частных случаев (7-функцни, составленный на основе многочисленных работ Мейера:
¦з-te+W
ОЙ(*И. V=X2 Ja-bWx), (7(!э (х І а, b) = 2x* Ка-ь (2 V x),
G?S *
b,
4- \ і -f
2 =—^e 2
-J V*
дь(|).
f I a \ i(»+c-t) -4
0SlxI*, ' 2Wktm(X),
GfiU
1I
b, -bj
fc = i(l+J+c)—a, m =
_ X
V * 2
Є
CQS bn
Кь[ 2)»
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
0» )="*<*-«+1)Г<е-« + 1)*'
^+'-11*? Щ.т(х), (S)
t l . a J I 1 \ bC
k = a — T(b+e +1), и=«" — -0,
з t
2 2
з 'l
<755 (* I <». b, 26-a, ?.+ 1) = ^=^/,^^,(22 *4)J2(а-Ь)(22 *4), (9)
fllj(* |e +-J-, a, b, 2a —?) =
2 / я
з 1
2 „4і
3 1
oT
[ sin (a — ?)я]"1 Xа [/, ^t (2* X ) I3 ,^t (2 *4) -
\
Al L J_
P** Vtl^e, (22*4)], (10)
OH ( * I в, e + -J-, * + y) = (e+W/.«_», (4*4), (11)
Ой(*|в. —a> 0. y) =
У JC
Kl
Kl
3 1
sin (2oit)
[J3a(W4)J^(ге 4)-У_м(ге4)^м(и 4 )], я = 22*4, (12)212 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
OR
*|о,\,а, -a) =JJ^Xe*a*i Jiaiee <)j_!a(ze*)-
«1 _ ItI 2 J.
-r—*J„{u*) J-шіи 4)], Z = 2*x\ (18>
out * [з«-у, а,-«-у, е-у) =
1
2 У я,
3 1
3 1
3 1
C0st2aic)-Kta (22*4)[/4в (23де4) + 4в(22л:4)], (14>
<*(*| 0, -a-l, -I) =
_1 11 JL 1 11
= 4/«* 2Kia(22*4)[Jja(22*4) cose*—1^(22*4) sine*]. (15>
| — e —"f' —« —у> °) =
_1 Al 11 81
= -4Y^x 3 АГм(22д:4)[/м(23 л4) sinait+Ую(2Тд:Т)со8віїІ, (16>
Il8I
Он(* a, b + ± b, 2b-O^ = VTt1 X*)Ііш-ьЛ^х*), (17>
Gft (jc І а, а + і, Ь, Ь + -і) = 4пх» l°+b) Klta^iЬс*), (І8>
? «і 3 1
>2 v4.44 V . /оТЛ- 4\
OH^ Giif* OiJ
= 2'/ * JCAC1 (22 JC4*4) (2 JC в *), (І9>
2 ] = а, 0, —a J
2 ) = V KJa(Vx)J-Il(Vx), О, а, — а/
\ TІ
a.b. 1 -J+-у
H
в—?-7
(2 У JC),
бй *
1
2
о,Ь, а—
= jc
(20) (21) (22)
(23)ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ О-ФУНКЦИИ 21?
/ І .ХІ \
В (ж I e+2 -VvxaJb-* (У*) Уъ-а(У*\ (24> \ \Ь,а,2а-Ь/
<??•(* 2 ) = У"«2*(Лі«ГЧ/1в</^-.»ЇО'Г*И» (25> \ \а, —а, О/
Gill XI 2 ) = 2 V * Га (Vx) Ka (Vx), (26> \ |а, О, — а/
^He, la, 0) = ~&)l/1~a(V~X)~,%(VI)]' (2?>
OB *
<П1 [х
<т [х
a+l \
„ H cos [{a-b),]Vb^Vx)-L^(2Vx)]t (28> а +у, aj
в+т \ -(e+w
\ ] = **2 I/o-» (2 У~ї)~К-ь(2 /*)], (29> а, « +у, bj
Q»(x\ в + Т \=у^х°ЩУх), (30>
\ I а + &, в — а) "
в + Т \
1 (31>
в + у,— в, «у '
OfJ^_&) = 2-*и"Г(1-«-&) Г(1 — в + ?)Sle-I1,6 (2/? (32) 08H 6,2^Л yr^^^b^VxmLAVx^ (33>
=Г(?±^Г^+?2) л (в + вм в + Сі. (34>
Gfilx в + Т'в Jftw *) J6-C (Vx), (35)
\ & + а, в—е,а+с,а — Ъ/
GHIx + Т \ = 2 V Ib^ta(Vx)Kb-c(V^), (86>
\ Ь, с, 2а— с, 2а — bj214 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 5 1