Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 58

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 87 >> Следующая


то (5) следует из 5.3(1), а если p<.q (или p=q и |*|<1) и выполнено условие (7), то из 5.3(5). Если и равно одному из чнсея й„+1, ..., bq или ? равно одному из чисел а1(..., ап, то (5) приводит к важному функциональному уравнению для Qpq.

Поведение Gp?" при преобразовании Лапласа вытекает из формулы



(8)

справедливой, например, при условиях (6) и (7), причем часть, относящаяся к р, может быть опущена.

Поведение О-функцин при преобразовании Меллина видно из 5.3(1) с условием 5.3(2). Некоторые интегралы от произведений О-функций могут быть вычислены с помощью теоремы о свертке для преобразований Меллина и Лапласа. Некоторые такие интегралы были вычислены Мейером (Meijer, 1936). Мейер хказал также обобщение формулы (5). Преобразование Ганкеля задается формулой

со

J wa H

о *

\ ь„ьг )

(9) 210 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-

справедливой, например, при условиях (6) и

Re ( — «+-?+*»)>—!. А=1'-|да.

Re (-« + «,)<!, 7=1.....п. (10)

Во всех этих формулах введение контурных интегралов позволяет ослабить ограничение на а (или на ? в (5)). Возможны н другие условия справедливости преобразования Ганкеля, но, за исключением некоторых случаев, рассмотренных в работах Мейера, полного исследования не проведено.

Последний интеграл, содержащий (моднфнцнрованн}ю) ф)нкцию Бесселя, имеет вид

UU

у, а + у. «1. ...,«*! (И>

Di,..., Oq

Эта формула справедлива, например, при условиях (6) и

+ A=I,..., m. (12)

Более слабые условия были даны в частном случае Мейером (Meijer, 1936, равенство (58)).

5.6. Частные случаи G-функции

Очевидно, что Vp4 ((I1,..., ар; blt..., bq-, х).=

9

П T(bi>

-/=1 п\.р ( J 1—«I.....1—ар\ =

-P aP^H-H-jrIoiI-J1..... I-Ve

П r^)

7 = 1

я

П rW

_ 1 =• 1 др. 1 (__L Ь 4I..... V m

—Г 0S+!. Л * a»..., ар J* (1)

П ВД

Сравнивая с 5.2(2) и 5.3(5), получаем

EiP-, v «Р; |І! Jj.

Важность G-функции в значительной степени связан? г возможностью выразить через (/-символ большое число специальных функций, встречаю-

(2) 6 6]

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ G ФУНКЦИИ

211

шичся в прикладной математике. Поэтому каждая формула, выведенная для <2-ф>нкции, является образцом, по которому можно получить большое число соотюшеннй для функций Бесселя, Лежандра, Уиттекера, для нх комбинаций и родственных нм функций. Для этого можно использовать следующий список частных случаев (7-функцни, составленный на основе многочисленных работ Мейера:

¦з-te+W

ОЙ(*И. V=X2 Ja-bWx), (7(!э (х І а, b) = 2x* Ка-ь (2 V x),

G?S *

b,

4- \ і -f

2 =—^e 2

-J V*

дь(|).

f I a \ i(»+c-t) -4

0SlxI*, ' 2Wktm(X),

GfiU

1I

b, -bj

fc = i(l+J+c)—a, m =

_ X

V * 2

Є

CQS bn

Кь[ 2)»

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

0» )="*<*-«+1)Г<е-« + 1)*'

^+'-11*? Щ.т(х), (S)

t l . a J I 1 \ bC

k = a — T(b+e +1), и=«" — -0,

з t

2 2

з 'l

<755 (* I <». b, 26-a, ?.+ 1) = ^=^/,^^,(22 *4)J2(а-Ь)(22 *4), (9)

fllj(* |e +-J-, a, b, 2a —?) =

2 / я

з 1

2 „4і

3 1

oT

[ sin (a — ?)я]"1 Xа [/, ^t (2* X ) I3 ,^t (2 *4) -

\

Al L J_

P** Vtl^e, (22*4)], (10)

OH ( * I в, e + -J-, * + y) = (e+W/.«_», (4*4), (11)

Ой(*|в. —a> 0. y) =

У JC

Kl

Kl

3 1

sin (2oit)

[J3a(W4)J^(ге 4)-У_м(ге4)^м(и 4 )], я = 22*4, (12) 212 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-

OR

*|о,\,а, -a) =JJ^Xe*a*i Jiaiee <)j_!a(ze*)-

«1 _ ItI 2 J.

-r—*J„{u*) J-шіи 4)], Z = 2*x\ (18>

out * [з«-у, а,-«-у, е-у) =

1

2 У я,

3 1

3 1

3 1

C0st2aic)-Kta (22*4)[/4в (23де4) + 4в(22л:4)], (14>

<*(*| 0, -a-l, -I) =

_1 11 JL 1 11

= 4/«* 2Kia(22*4)[Jja(22*4) cose*—1^(22*4) sine*]. (15>

| — e —"f' —« —у> °) =

_1 Al 11 81

= -4Y^x 3 АГм(22д:4)[/м(23 л4) sinait+Ую(2Тд:Т)со8віїІ, (16>

Il8I

Он(* a, b + ± b, 2b-O^ = VTt1 X*)Ііш-ьЛ^х*), (17>

Gft (jc І а, а + і, Ь, Ь + -і) = 4пх» l°+b) Klta^iЬс*), (І8>

? «і 3 1

>2 v4.44 V . /оТЛ- 4\

OH^ Giif* OiJ

= 2'/ * JCAC1 (22 JC4*4) (2 JC в *), (І9>

2 ] = а, 0, —a J

2 ) = V KJa(Vx)J-Il(Vx), О, а, — а/

\ TІ

a.b. 1 -J+-у

H

в—?-7

(2 У JC),

бй *

1

2

о,Ь, а—

= jc



(20) (21) (22)

(23) ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ О-ФУНКЦИИ 21?

/ І .ХІ \

В (ж I e+2 -VvxaJb-* (У*) Уъ-а(У*\ (24> \ \Ь,а,2а-Ь/

<??•(* 2 ) = У"«2*(Лі«ГЧ/1в</^-.»ЇО'Г*И» (25> \ \а, —а, О/

Gill XI 2 ) = 2 V * Га (Vx) Ka (Vx), (26> \ |а, О, — а/

^He, la, 0) = ~&)l/1~a(V~X)~,%(VI)]' (2?>

OB *

<П1 [х

<т [х

a+l \

„ H cos [{a-b),]Vb^Vx)-L^(2Vx)]t (28> а +у, aj

в+т \ -(e+w

\ ] = **2 I/o-» (2 У~ї)~К-ь(2 /*)], (29> а, « +у, bj

Q»(x\ в + Т \=у^х°ЩУх), (30>

\ I а + &, в — а) "

в + Т \

1 (31>

в + у,— в, «у '

OfJ^_&) = 2-*и"Г(1-«-&) Г(1 — в + ?)Sle-I1,6 (2/? (32) 08H 6,2^Л yr^^^b^VxmLAVx^ (33>

=Г(?±^Г^+?2) л (в + вм в + Сі. (34>

Gfilx в + Т'в Jftw *) J6-C (Vx), (35)

\ & + а, в—е,а+с,а — Ъ/

GHIx + Т \ = 2 V Ib^ta(Vx)Kb-c(V^), (86>

\ Ь, с, 2а— с, 2а — bj 214 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 5 1
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed