Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Вырожденное гипергеометрическое уравнение является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с правильной особой точкой х = 0, причем его коэффициенты регулярны при всех X ф0 (включая X = OO). Каждое такое уравнение может быть приведено (Tncomi, 1948) * виду
« легко показать, что (исключая тривиальный случай, когда уравнение (13) решается в элементарных функциях) интегрирование (13) приводит к вырожденной гипергеометрической функции или функциям Бесселя. Будем различать два случая )равнения (13). Если а*ф 4а, имеем
_ Ь_ _ ах
У—X 2C 2 И)(Х, ff, 5), (14 240 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1Гл. &
і ДЄ
Р- —
6= V a* —Aax, (15)
и w(%, (і, х) является решением 6.1(4); если а* = 4а, то
у = V^-KT=Oi (5), (16)
где
V = K(J-I)'- 4Т, ? = 2 У^-^-аЬ^х. (17)
Уравнение
X*^. + (AXf + B)X^ + (DXtf+ GXf+ Kiy = Q, (18)
в котором р^О — любое число, сводится к уравнению (13) подстановкой
YV А А В + V — 1
JT= Xv, а = —, D =-!-,
v ' V
I = Dv-1, р = <5 V-8, ч = (19)
и, следовательно, сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению. Более общая форма может быть получена из (18), если положить
(20)
К удовлетворяет уравнению Xa + (AXe+ В+ 2^,) X- '
dX* 1 v 1 ' т/ dX 1
+ [M^ + Ctf + ff+^ + A-l)* + *» + Xf^K=Q. (21)
Например, если tp(X)= AXa1 то получаем, что уравнение Х*~ + (АХ' + ВХ" + С)Х^ +
+ (D}f* + EXf* + FX*" + QXt + HXa + K)z = 0, (22)
при условии
E = ^AB, F = \&t H = ~B(C + v~l), (23)
может быть проинтегрировано с помощью вырожденной гипергеометрической функции.
Следует отметить, что сами функции Бесселя являются частным случаем вырожденной гипергеометрической функции (см. 6.9.1). Поэтому все нетривиальные случаи дифференциальных уравнений этого пункта могут быть проинтегрированы с помощью вырожденной гипергеометрической функции. 6.3] ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВЫРОЖДГННОГО УРАВНЕНИЯ 241
Основными линейными дифференциальными уравнениями второго поряд ка, которые могут быть проинтегрированы с помощью вырожденной гипергеометрической функции, являются (1), (13), (18), а также уравнение (22) при условиях /23).
6.3. Общее решение вырожденного уравнения в окрестности начальной точки
Будем изучать вырожденное гнпергеометрическое уравнение в виде
Одним из решений уравнения является
ЗЧ = Ф(а, с; х) (2)
и преобразования 6.2. (10), 6.2(12) дают три других решения, а именно
Уз = х1~с Ф(а — с -f 1» 2 — с; х), (S)
уа = ехФ(с — а, с;-х), (4)
Уі = X1-CexO (1-а, 2— о; — *). (5)
Из их поведения вблизи лг = 0 следует, что> если с не является целым числом, то рршения jI3 н ys линейно независимы. Следовательно, в этом случае общее решение может быть записано в виде
у = Ay1+Byv (6)
где А и В—произвольные постоянные. Особый случай, когда с — целое число, будет из)чен позже (см. 6.7. 1).
С другой стороны, как ylt так и Va являются решениями уравнения (1), причем оба они регулярны прн х =Ь и ,Vi(O)=J^(O)=I- Так как (при нецелом с) дифференциальное уравнение может иметь не более одного такого решения, то имеет место равенство yt =ys или
ф (а, с; х) = ехФ (с — «> с; —х). (7)
Это соотношение называется преобразованием Куммера. Точно так же, в снлу преобразования Куммера, ys =у4.
Преобразование Куммера есть предельный случай преобразования Эйлера
F(а, 6; с; 2) = (1 (е-а, Ь; с;
для гипергеометрического ряда (см. 2.1 (22)) и является весьма важным соотношением. При его выводе мы предположили, что число с — не целое, но преобразование справедливо (до непрерывности) и при целых положительных с.
Еслн Vp и yq являются решениями уравнения (1), их определитель Вронского
й d
wPQ =Ур ^ У я -У« TxyP <8> 242 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &
должен иметь вид КРдЄхх~с, где постоянная Kflq может быть вычислена с помощью первых двух членов разложений функции у в ряд. Получаем
Wii = Wu =Wli=-Wit = (I-C) X-cBx. (9)
Все другие определители Вронского для этих четырех решений тождественно равны нулю.
6.4. Элементарные соотношения для функции Ф
Как и в теории гипергеометрических рядов Гаусса, четыре функции
Ф(в +) = Ф (в + 1, с; х), Ф (в —) = Ф (в— 1, с; *),
Ф(с+) = Ф(а, с + 1; *), Ф (с —)5= Ф(а, с — 1; л:) (1)
называются смежными с функциями Ф = Ф(я, с; х). Функция Ф и любые две смежные с ней функции связаны линейной зависимостью. Шесть формул, описывающих эти зависимости, могут быть выведены из соотношений Гаусса между смежными функциями (см. 2.1.2); их также можно проверить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х. Они имеют следующий вид:
(с — а)ф(а— ) + (2о— с + л:)Ф — аф(я+) = 0, (2)
е(с— 1)Ф(с—) — с (с — 1+*)Ф + (с — а)л:ф(с+) = 0. (3)
(в_с + 1)ф_вф(в+) + (с_ 1)ф(с_) = о. (4)
еф— сф(а—) — л-ф(с+) = 0, (5)
с (а + х) ф — (с — а) X Ф (с +) — ас Ф (а +) = 0, (6)
(е - 1 +л)ф + (с — «)ф(я —) — (с— 1)Ф(с-) = 0. (7)
Эти соотношения не являются независимыми. Из любых двух соотношений, например (2) и (4), при помощи простых операций могут быть выведены все остальные.
