Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 67

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 87 >> Следующая


Вырожденное гипергеометрическое уравнение является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с правильной особой точкой х = 0, причем его коэффициенты регулярны при всех X ф0 (включая X = OO). Каждое такое уравнение может быть приведено (Tncomi, 1948) * виду

« легко показать, что (исключая тривиальный случай, когда уравнение (13) решается в элементарных функциях) интегрирование (13) приводит к вырожденной гипергеометрической функции или функциям Бесселя. Будем различать два случая )равнения (13). Если а*ф 4а, имеем

_ Ь_ _ ах

У—X 2C 2 И)(Х, ff, 5), (14 240 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

1Гл. &

і ДЄ

Р- —

6= V a* —Aax, (15)

и w(%, (і, х) является решением 6.1(4); если а* = 4а, то

у = V^-KT=Oi (5), (16)

где

V = K(J-I)'- 4Т, ? = 2 У^-^-аЬ^х. (17)

Уравнение

X*^. + (AXf + B)X^ + (DXtf+ GXf+ Kiy = Q, (18)

в котором р^О — любое число, сводится к уравнению (13) подстановкой

YV А А В + V — 1

JT= Xv, а = —, D =-!-,

v ' V

I = Dv-1, р = <5 V-8, ч = (19)

и, следовательно, сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению. Более общая форма может быть получена из (18), если положить

(20)

К удовлетворяет уравнению Xa + (AXe+ В+ 2^,) X- '

dX* 1 v 1 ' т/ dX 1

+ [M^ + Ctf + ff+^ + A-l)* + *» + Xf^K=Q. (21)

Например, если tp(X)= AXa1 то получаем, что уравнение Х*~ + (АХ' + ВХ" + С)Х^ +

+ (D}f* + EXf* + FX*" + QXt + HXa + K)z = 0, (22)

при условии

E = ^AB, F = \&t H = ~B(C + v~l), (23)

может быть проинтегрировано с помощью вырожденной гипергеометрической функции.

Следует отметить, что сами функции Бесселя являются частным случаем вырожденной гипергеометрической функции (см. 6.9.1). Поэтому все нетривиальные случаи дифференциальных уравнений этого пункта могут быть проинтегрированы с помощью вырожденной гипергеометрической функции. 6.3] ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВЫРОЖДГННОГО УРАВНЕНИЯ 241

Основными линейными дифференциальными уравнениями второго поряд ка, которые могут быть проинтегрированы с помощью вырожденной гипергеометрической функции, являются (1), (13), (18), а также уравнение (22) при условиях /23).

6.3. Общее решение вырожденного уравнения в окрестности начальной точки

Будем изучать вырожденное гнпергеометрическое уравнение в виде

Одним из решений уравнения является

ЗЧ = Ф(а, с; х) (2)

и преобразования 6.2. (10), 6.2(12) дают три других решения, а именно

Уз = х1~с Ф(а — с -f 1» 2 — с; х), (S)

уа = ехФ(с — а, с;-х), (4)

Уі = X1-CexO (1-а, 2— о; — *). (5)

Из их поведения вблизи лг = 0 следует, что> если с не является целым числом, то рршения jI3 н ys линейно независимы. Следовательно, в этом случае общее решение может быть записано в виде

у = Ay1+Byv (6)

где А и В—произвольные постоянные. Особый случай, когда с — целое число, будет из)чен позже (см. 6.7. 1).

С другой стороны, как ylt так и Va являются решениями уравнения (1), причем оба они регулярны прн х =Ь и ,Vi(O)=J^(O)=I- Так как (при нецелом с) дифференциальное уравнение может иметь не более одного такого решения, то имеет место равенство yt =ys или

ф (а, с; х) = ехФ (с — «> с; —х). (7)

Это соотношение называется преобразованием Куммера. Точно так же, в снлу преобразования Куммера, ys =у4.

Преобразование Куммера есть предельный случай преобразования Эйлера

F(а, 6; с; 2) = (1 (е-а, Ь; с;

для гипергеометрического ряда (см. 2.1 (22)) и является весьма важным соотношением. При его выводе мы предположили, что число с — не целое, но преобразование справедливо (до непрерывности) и при целых положительных с.

Еслн Vp и yq являются решениями уравнения (1), их определитель Вронского

й d

wPQ =Ур ^ У я -У« TxyP <8> 242 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &

должен иметь вид КРдЄхх~с, где постоянная Kflq может быть вычислена с помощью первых двух членов разложений функции у в ряд. Получаем

Wii = Wu =Wli=-Wit = (I-C) X-cBx. (9)

Все другие определители Вронского для этих четырех решений тождественно равны нулю.

6.4. Элементарные соотношения для функции Ф

Как и в теории гипергеометрических рядов Гаусса, четыре функции

Ф(в +) = Ф (в + 1, с; х), Ф (в —) = Ф (в— 1, с; *),

Ф(с+) = Ф(а, с + 1; *), Ф (с —)5= Ф(а, с — 1; л:) (1)

называются смежными с функциями Ф = Ф(я, с; х). Функция Ф и любые две смежные с ней функции связаны линейной зависимостью. Шесть формул, описывающих эти зависимости, могут быть выведены из соотношений Гаусса между смежными функциями (см. 2.1.2); их также можно проверить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х. Они имеют следующий вид:

(с — а)ф(а— ) + (2о— с + л:)Ф — аф(я+) = 0, (2)

е(с— 1)Ф(с—) — с (с — 1+*)Ф + (с — а)л:ф(с+) = 0. (3)

(в_с + 1)ф_вф(в+) + (с_ 1)ф(с_) = о. (4)

еф— сф(а—) — л-ф(с+) = 0, (5)

с (а + х) ф — (с — а) X Ф (с +) — ас Ф (а +) = 0, (6)

(е - 1 +л)ф + (с — «)ф(я —) — (с— 1)Ф(с-) = 0. (7)

Эти соотношения не являются независимыми. Из любых двух соотношений, например (2) и (4), при помощи простых операций могут быть выведены все остальные.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed