Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые тривиальчьт формулы приведения очевидны. Если в функциях F1 и F^, или F„ или Ф2 имеем ?' = О или если у = 0 в любом из рядов, то гнпергеометрический ряд от двух переменных может быть выражен с помощью ряда одною переменного. Такие тривиальные приведения в дальнейшем не б)дут рассматриваться
Приводимость при частных значениях параметров. Следующие формулы приведения могут быть доказаны либо путем разложения в бесконечные рячы и сравнения коэффициентов, либо с помощью интегральных представлении:
F1 («, Р, P', P + P'; у) = (1 - У)~а F ((а, ?; ? + ?'; , (1)
F* (•. Р, P', Р, Г; X, У) = (1- X)-" F (о, ?'; f, J^), (2)
F2 (а, ?, ?', а, а; х, у) = (1 - х)~? (1 - y)~?'F (?, ?'; а;, (3)
Ft (<*, T ¦- «. ?> 7 - Р. Г. У) = 0 - У F+^ F (а> ?, Гг X+у- -ху), (4) ^Л®. Т + К' —»— Т. К'; х(\—у), у(1 —х)] =
= F^, ї+ї'-«-1; 7; x)F(«, t + 1; t, У), (5)
W1J1 P. __-у N_(l-X)P(f_y)B
ґі г»* P-(I-X)O -у)' (1-х) (l-y)j --Г^ху-' ( )
Fi ?- ?; (1 —X)(l—y)' (\-7)(\-y)) =
_ =(I-X)^l- V)"F (а, 1 + а —?; ?; xy), (7) = (l-y)*F(*, ?; l+a-?; (8)
".[i+?-U**0^^. faJ-O + *^* 8* 232 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
Относительно (1), (2) п (4) см. Appell, Kampfe de Fferiet, 1926, гл. I; относительно (3), (5), (6), (7) и (8) см. Bailey, 1935, гл. 9 и примеры; относительно (9) см. Erdfelyi, 1948, стр. 384. В указанной литературе имеются некоторые другие случаи приводимости.
Проводимость при частных значениях переменной
Методы, используемые в этом случае, примерно те же, что и в предыдущем случае. Однако известных результатов значительно меиыпе. Монография Аппеля й Кампе-де-Ферье дает лишь
j. F1 («, ?, ?', г. 1)= г(у-(а)Г(т-у) <10>
/. («- P. ?\ Г- х,х) = F (о, р + h V х). (11)
Оба соотношения Шляются непосредственным следствием 5.8 (5).
5.11. Преобразования
Несмотря на то, что, по сути дела, есть лишь один гипергеометрический ряд второго порядка от одного переменного (именно, ряд Гаусса), теория ею преобразований весьма обширна (см. п. 2.9 — 2.11). Поскольку чисю гип^ргеометрических рядов второго порядка от двух переменных велико, полное множество их преобразований исчисляется сотнями. Мы приведем лишь немногие из них. Лучшим средством для вывода этих (и других) преобразований являются интегральные представления рассматриваемых функций. С целью получения желаемых результатов применяются замена переменной интегрирования или деформация контура интегрирования. Для интегральных представлений, таких, как 5.8(6), в которых подынтегральная функция содержит гипергеометрическую функцию одного переменного, весьма полезно использование теории преобразований гиперіеометрических функций одною переменного.
Приведем сначала преобразования рядов в ряды того же типа:
FA«, Р, ?1, тг; у) =
= (1-- УГ? F1 (f р, г, , ^rf) = (1)
= (1 - хП Fі Y—? — P', ?\ Г. тБт) = (2)
= (1 -У) * F1 (а, ?, 7- ?- ?V 7; ^t) = (3)
= (I-X)T «-?(i__y)-?'F1^-CC1 тг-?-?', ?', T; л:, = (4)
= (1 — J^rр(1 — Zy1 (ї — ?, т-?-r, r, jEf, у), (5)
Fi («, ?, ?'; Ъ 1'; ^) = (1- XTa Fi (а, 7 -?, ?', 7, к'; , jJL-} = (6) «О-^/Ц*, ?. r-?\ т, Г; Y=J' ' . w
(«•' Г-?', * г; ^+—гт)- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ї+ІPq
233
Все этн преобразования соответствуют преобразованиям Эйлера для обычных гнчергеометрическнх рядов 29(4). Ни для одного из других полных гипергеочетрическнх рядов от двух переменных не известно простого преобразования такого типа.
Существуют также преобразования рядов в ряды того же типа, дающие аналитические продолжения, например
F«(«.?,V.Y'l х,у) =
- HPHfrg (»¦ • +•¦ - * •+1 T ¦ T)+
-Yf1P-Y. P+1-«; -}-),/!"*?? (9)
Наконец, при специальных значениях параметров встречаются квадратичные преобразования н преобразования высших степеней. Все эти преобразования приведены в монографин Аппеля и Кампе-де-Ферье (гл. I и II).
Далее, существуют преобразования ппергеоыетрических рядов от двух переменных в гипергеометрнческие ряды других типов. Есть два вида таких преобразований Один служит для аналитического продолжения ряда с помощью ряда другого типа, а второй дает формулы приведення, показывающие, что при некоторых частных значеннях параметров ряды выражаются через более простые, например имеющие меньшее число параметров. Наиболее известным примером аналитического продолжения с помощью другого гнпергеометрического рида является преобразование
Vl Г(у)Г(р-Х)Г(а-^) .
Г(р)Г(а)Г(у-Л-|1) 1 х> (1~у> х
X Ft ^A, +|1+ 1— Y, К (1, я. + 1—Р, (1+ 1-а; -j-, -у), (10)
где сумма состоит из четырех слагаемых, в которых X, ц, р, о равны соответственно а, а', ?, ?'; а, P', р, а'; ?, а', а, ?', и ?, ?' а, а'. Наиболее известным примером приведении ивляетси
F8'(«.c'.P.?'.« + «'; *,у) = (1 -yr^F^e.?.P',« + «'; (")
В следующих двух таблицах даетси сжатое изложение различных известных преобразований полных рядов, то есть рядов, обозначенных в списке Горна через F, G, Н. Соответствующие формулы и подобные преобразования вырожденных рядов можно найти в следующих работах' монография Appell, Kampe de Feriet, 1926; Bailey, 1935, гл. IX и примеры; Burchnall, Chaundv, 1940, 1941 (где преобразования не установлены в явном виде, а получены как вырожденные случаи разложений) и Erdelyi, 1948 Аналитические продолжения Ряды Переменные Выражаются через ф) нкции С переменными
