Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Приложения этого результата к полным рядам второго порядка видны из таблицы на стр. 222.
Области сходимости различных рядов изображены на рис. 3. 222 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
« (р., V) Ф ((і, v) Декартово уравнение кривой Ряды
1 l < Fl (41)
|i + v Il |l + V V r + s = l Р% (42)
P- |i + v V 11+ V Ft (43)
m (iH)' /H-VT=I Fi (44)
- (V- + V) V- - (|L + V) V /¦ + « = 1 Oi (46)
-1 -1 а, (46)
(2ц - v)3 |i(2v-|i) (2v - (i)> N (2(4 — v) 27/-*s* + 18« ± 4 (г - і) - 1 = 0 0, («)
V-1 H + V H-V 4« = (і - l)s H1 (48)
Ц-» V- V Ii-V Ht (49)
(2|i + v)2 V- № + *) 2(i + v |l + V Hi (501
(2p. + v)> Ii» 2n + v V 4/- = (і - 1)2 H1 (51)
(2(X + 'Is Mv-P-) + v) (v - (i) va 1 Jr I6ra — 36/-S + (8/-—S+27лг2) = 0 H1 (52) І
(2|i-v)» -|i (» - |i) v-li StI--V sjr +S- 1=0 н» (63) І
(2|i — v)* • - p.« - V 2ц. — v .'-(т-»У H1 і <54) 5.71- •
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 223
(0,7)
(7,7) (0,7)
(7,0)
(7, W
(0,0) (JM, о) (0,0) а О)
(0,7)
а о)
(Q7)
Ш)
^
"э
(ja , г/г)
{(ЦО) (г/*,о) (qo) №,0j (0,0) №,0)
(о,1)
fiS
\
Hn
№, V2)
(ао) (JA, д) (M) №,0j
Рис. 8. 224' ДАЛЬНЕЙШИЕ 0Е0БЩЕНЙ5Ґ ГИПЕРГЁОМЕТРЙЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. К
Для вырожденных рядов либо функция Ф, либо функция W тождественно равна нулю и область сходимости значительно проще. Неравенства, необходимые для сходимости, указаны в формулах (20) — (39).
5.8. Интегральные представления
Гипергеометрические функции двух переменных, как и соответствующие функции одного переменного, могут быть выражены либо интегралами типа Эйлера — Лапласа, либо интегралами типа Меллина — Бернса. Эти интегралы являются в рассматриваемом случае двойными. Так как двойные ннтеї ралы менее удобны, чем обычные, и плохо приспособлены для интегрирования дифференциальных уравнений, представляется естественным найти простые интегралы, выражающие эти функции. Такие представления могут быть найдены во всех случаях, но подынтегральная функция в большинстве из них содержит гипергеометрическую функцию одного переменного нлн произие-дение таких функций
Список Горна слишком обширен, и здесь невозможно привести полный перечень интегральных представлений. Мы укажем интегральные представления лишь для функций Аппеля, но надо иметь в внду, что подобные представления существуют для всех функций Горна. Многие из этих представлений даны в работах, имеющихся в списках литературы. Интегральные представления полезны для аналитического продолжения гипергеометрических рядов двух переменных, теории их преобразования, а также для интегрирования гипергеометрических систем дифференциальных уравнений в частных производных.
5.8.1. Двойные интегралы типа Эйлера. Если использовать разложение в ряды и применить либо интеграл Эйлера первого рода для бета-функцнй или соответствующий двойной интеграл, то легко получаются интегральные представления
F1 («. Р. Р'» Г, х, ^=PpIpIppZf)х
X JJ — и—»)гН>'-1(1_ их—1vtfr*dudv, (1)
/О 5: 0, Л>0\ V «+!.Si )
Re ? > 0, Re?'>0, Re(7—?—?')>0;
_Г (?) Г (-у')_ . ,
F» («. P. P'. К. У; -У) = г (?) Г (?') Г (7—?) Г (f — ?') Х
1 1
X JJ иГ1»?'-1 (1 — иугг1 (1 —oyi'-p'-1 (1 —ux—vyY• du dv, (2) Re ? > 0, Re ?' > 0, Re (к—?)>0, Retf-?')>0,
B
F, (», «'» ?, ?', V *> У)~ г (?) Г (?') Г Cx- ? —?')X
X JJ ur1 ttf'-» (1 — u — оН-ГР^1 (1 — их)-" (1 — vy]r*' du dv, (3)
CnSO,
Refl>0, Re?'>0, Refr-?—?'»0 (Appell, Kampfe de Feriet, 1826, гл. 2). «.11] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 225
Изучение функции Ft значительно сложнее, и, по-виднмому, для нее не существует достаточно простого интегрального представления. Из большого числа предложенных для иее двойных интегралов простейшим представляется интеграл Берчнелла и Ченди (Burchnall, Chaundy, 1940, равенство (68))
/%[«, р. т. Г; *V~y),y( 1-^°г(а)Г(р)гУ-Уг(г-р) х и ;
ИИ«-* v?-t (1 — ц)т-«-1 (1 — o)T-?~1 da dv
(1 — ихуг+т-*-* (1 _ oy)T+T-?~» (1 _ их — oyy+?-ї-Т'+і • w
о 0
Re a > 0, Re p > 0, Re (7 — a)> 0, Re(7' — p)>0.
Во всех этих интегральных представлениях предполагается, что \х\ и \у [ достаточно малы, чтобы как ряды, так и интегралы сходились.
5.8.2. Обычные интегралы тииа Эйлера. Пикар отметил, что функция F1 может быть представлена с помощью обычного интеграла в виде
і
ъь Р, г, т; J (I-1JV^Vrfa' (5)
Re а>¦ 0, Reft — a)>0.
Это представление имеет то большое преимущество, что оно легко преобразуется в KOHTVpHbift интеграл, применимый для отрицательных значении Rea и Re(7 — а), и что оно является наилучшим средством дли полного интегрирования связанной с ф)нкцией F1 системы дифференциальных уравнений в частных производных. Равенство (5) показывает, что преобразование Эйлера функции F1 является произведением функции от х на функцию от у. Применимость и полезность равенства (5) связаны с этим свойством. Существуют соответствующие соотношения для F1 и Ft (ErdeIyi1 1848)
X j (— OP (і—1)-р' ^ (р, Р; г, ~)f (p', P'; Г; у^) dt, (6)
где р + р' = a +1 и путь интегрирования является двойной петлей Похгам-мера (1 -f-, 0 +, 1 —, 0 —) такой, что вдоль нее 111 > | х | и 11 — 11 > j j>|; далее
