Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
X (1 + 4х) г - (1 + 4л:) ys + у* t + [ I - P + (4а + в) х] р -
— 2ayq -J- а (а + 1) г = в
. и - — ixp + ftz=»
Hi,
H11
H11
Htl
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21) СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
229
ь-
} S11 } S8,
X (1 — 4х) г + 4xys — уН + [S — (4а + 6) л:] р +
+ 2ayq — а (а+ 1)2 = 0 } Н„ у (1 + у) t - Зхуs + [ 1 - а + (р 4- Т + 1) у] q - Tхр + Pf2 = О
X П -x)r+y(l — AT)s + h — (« + р + 1)л:]р — ?yq — opz = 0 >•< + is + (i—y)q — хр — аг = O
xr + .ys + (і — x)p— p«=0 + y)q
xr + ys + ft — л:) p — p« = O yt + jcs + k^ — 2 = 0 л: (1 — x) г — xys + ft — (а + p + 1) x] p — $yq — apz = O + — If)? — xp — oz = 0
xr + ft—x)p—yq — аг = O Л ^ yt+tf—y)q — xp — az = 0)
*(1_*)г+я + [т-(в + В+1)*Ір-«Р« = 0
yt + + (f — y) q — а'2= O
* (1 - *) r + я + ft - (° + P + 1) *] P - «?« = 0
yt + xs + ^q — г = O лг(дг+1)г-з>(дг+1)ї + [1-р + (а+р'+1)д:1р-
— аУЯ + aP'2 = о
yt - as + (1 — P' %+.y) q — xp + fc = O
xr — .yS + (jC — P+ l)p — ;У9 + Р'2 = 0
yt — jcs + (y — P'+ I)? — xp + $z=0 x{\-x)r+y*t+ [ї-(а + р+1)дг]я + (р-а+1)М-«рг = 0 yt — xs + (1—a-\~ у) 4 xp + pz = O
л: (1 — *) r + xyt + [8 — (a + p + 1) д:] p + pyq — <$z =O
yt — jcs+ (1 —a+_y)g + fZ = 0 jc (I— x)r-\-xyt-\-[b — (a+ p+ 1) jc] p + $yq — арг = O yt — *s + (l — а+_у)0 + г = О
*r + (8 — x)p+yq — az = 0 1 н —jlf+jcs — (1 — a+y)q— f2 = 0 j лт + (ї — X)p + yq — аг = 0 1 yt—JCS + (1—a+ji)^ + 2 = 0 J " л: (I — 4x)r-\-y (1 —4jc) s —yst-\- ft — (4a + 6) jc] p — '
— (2a + 2)^ — a(a+1)2=0 \ He yt + JCS+ft — y)q — 2xp — аг = O 8 г. Бейтмен, а. Эрдейн
} H11 } H8, } H„
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37) 230 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
X (1 — 4х) — 4xys — y'-t + [ї — 4 (a -J- 1) х\р —
-(За + 2)^-а(а + 1)г=0 H1, (38) yt + (Ь —у) q — 2хр — аг = Q
X (1 + 4дг)г —_у(1 + 4лг) s -\-y*t + [1 —р+ (4а + 6)д:1р-
— 2ayq + a(a + \)z = 0 Н„ (39) yt -2xs + (l — a+y)q — xp + $z = Q
X (1 — 4х) г + 4xys — уН + [8 — (4а + 6) лг] р +
-J- 2ayq — а (а + I) z = 0 Н„ <^M>>
yt — 2лгз + (1 — a+y)q + ?z = 0
X (1 — 4х) г + 4л?з — ft + [S — (4а + 6) л:] р +
-J- 2ayq a (a + l)z = 0 H18, (41)
yt — 2*s+(l —a)q+z = Q
8.
} H11. (42)
В MOHOi рафии Аппеля и Кампе-де-Ферье рассмотрены некоторые из этих систем дифференциальных уравнений в частных производных. Дальнейшие результаты принадчежат другим авторам, в частности Горну, Борнгессеру, Берчнеллу и Эрдейи. Для каждой системы известны отдельные решения, однако полной совокупности всех фундаментальных решений до спх пор не известно, за исключением систем F1 и G (Эрдейи, не опубликовано), Fi (Burchnall, 1939; Erdely і, 1941) и Ф„ Ф2, Г, (ErdeI) і, 1939, 1940).
При работе с такими системами гшфференциачьных \равнений в частных производных возникают тр\дности дв\х типов. Во-первых, общая аналитическая теория систем дифференциальных уравнений в частных произвочных находится в неудовтетворте льном состоянии; в частности, очень мало известно о поведении решений в окрестности точек, где пересекаются более чем две особые кривые или в которых две особое кривые касаются. Во-вторых, препятствием является слишком большое число возникающих различных систем. Вторая трудность может быть заметно уменьшена путем использования результатов теории преобразований (см. п. 5.11). Эта теория позволяет, за возможным исключением систем
свести каждую систему для гипергеометрического ряда второго порядка к системе для F2 или к ее частным и предельным случаям.
5.9.1. Исследования Айиса. Айне (!псе, 1942) изучил систему уравнений
в которой а, Ь, с, d, е, /— многочлены от дг и alt bu clt A1, еи Z1 — многочлены от у. Он сделал некоторые дополнительные предположения о коэффициентах а, Ь, ... , еи /і, обеспечивающие, что система (44) имеет четыре линейно независимых решенил, что эти решения симметричны по х и у
Fi, H1, Hi, H
(43)
{
ar + ^c1S + d/» + etq -J- fz = О, а,і: + S1Cs-J- dfl + ер + Z1Z = О,
(44) 5.10] ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 231
(с соответствующей перестановкой постоянных параметров) и что особые кривые определяются коэффициентами при вторых частных производных в (44). При этих предположениях он доказал, что система (44) сводится к системе для Fs или к частным и предельным случаям этой системы.
6.10. Формулы приведения
При некоторых исключительных обстоятельствах гипергеометрические функции двух переменных могут быть выражены через более простые функции, например через гинергеометрическне функции одного переменного или через элементарные функции. В этих случаях мы говорим о приводимых гипергеометрическнх функциях и о формулах приведеная. Исключительные обстоятельства сводятся либо к тому, что параметры гипергеометрического ряда удовлетворяют одному или нескольким соотношениям, либо K ТОМ), что два переменных связаны некоторым соотношением. В последнем случае соотношение является обь.чно уравнением особой кривой для системы дифференциальных уравнений в частных производных, связанной с изучаемым рядом.
