Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Любая ф)нкция Ф(а + т, с+ л; *), где т и п — целые числа, называется ассоциированной с Ф(а, с; х). Путем постедовчтепьного применения соотношений между смежными функциями легко доказать, что любые две ассоциированные функции связаны однородным линейным соотношением, ко)ффшшенты которого являются многочленами от х. С помощью почленного дифференцирования получаем
с;х) = ^-Ф(а+1, с+1;х), (8)
или Ф' = — Ф (а +, с +). Применяя это соотношение повторно, получаем,
что производные любого порядка функции ф являются ассоциированными функциями и, следовательно, любые три производные связаны однородным линейным соотношением, коэффициенты которого являются многочленами от х. Дифференциальное уравнение 6 1 (2) является простейшим примером такого соотношение. Комбинируя (3) с соотношениями между смежными функциями, получаем
Ф'= Jl[ф(« +) — ФJ = (-f — 1) Ф+) + ф = [ф — ф(С —1)]. (9)6.5t ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 243
Дальнейшими полезными формулами являются dа (а)
?ргФ(а,с;х) = ±?-Ф(а + п,с + п-,х), (10)
dn dxn
dn dxn
dn dxa
dn dx* Здесь
[x «+"-!ф (а, с; j:)] = (а)пх"~1Ф (a + n, с; х), (11)
[^Фк с; ^ I = (- 1Г (1 - ^-'-"Ф (а, с-п;х), (12)
[с-'Ф(в> с- AT)j = (— 1)? (с~")л е~хФ(а, с + п; х), (13)
|~е-Лд,с-а+п-1ф (в> е. = (с — а)ле~хXc-a^ (а — п, с; х). (14)
(«), = 1, (о)я = а(а+1) ... (e + n-l) = ^^?),
и=1, 2, 3, ...
6.5. Основные интегральные представления
Известно, что однородное линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого являются линейными функциями независимого переменного, может быть проинтегрировано с помощью интеграла Лапласа. Интегральное представление
і
Ф(Д. с; *) = r(a)r<c> f е*»и°-1(1 -иу-*-Чи, Re с > Re в > 0, (1)
и
легко проверяется путем разложения е*и по степеням х. Это представление позволяет найти решение уравнения 6.1(2) в виде интеграла следующей формы:
у = ^ e-^a-i (1 + if-e-idt,
что может быть получено также с помощью метода Лапласа. Подставим это выражение в 6.1(2) и используем тождество
[x~??+ic~x}ib-а] lirxi^1 (l+^a-1!=~4t [e~Mta (l+
Мы получим, что если кривая С не проходит через особые точки подынтегральной функции н если начальное и конечное значения функции erxtta( 1 -j--f t)°~a конечны н равны друг другу, то интеграл удовлетворяет уравнению 6 1(2). Если Re с> Re в>0, то в качестве С можно выбрать интервал (0, — 1). Это показывает, что (1) удовлетворяет 6 1(2). Если Re a >0, то в качестве пути интегрирования можно выбрать луч, выходящий из начала координат.244 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
Положим
OO
W (а, е, х) = ^ ^ (1 + tr*~l dt, Ree>0. (2)
Это равенство определяет решение уравнения 6,1(2) в полуплоскости Re X > 0. Область определения может быть расширена путем поворота пути интегрирования. Таким образом,
OaeiV
4r^ е: *)=гЪ) $ e~xtt"~l (1 + Vc~a~ldt<
о
Re а > 0, — я < < л, — у < <f -f arg х < ~ . (3)
Здесь предполагается, что функции і0-1 и (1 + г)с~в~' принимают главные значения. Позже будет показано, что условия Re а > 0, соответственно Re с ъ> >Rea>0, моїут быть опущены, если ввести в формулы 6.11(2) и 6.11(1) контурные интеграны.
Другой тнп интегральных представлений использует интегралы Медлила—Бериса (см. 1.19). Формула
T — і оо
2
— 5"<arg(—д:)<^, 0>7> — Ree, сфО, 1, 2.....
может быть проверена путем вычисления интеграла как суммы вычетов подынтегральной функции в полюсах Г (— s).
Соответствующее представление для Ir получается путем подстановки в (2)
1 tV00
Г(в —с+1)(1+0^°-1 = ?^- J r(-s)r<a-c + s + l)**ds,
т — і оо
О > к> Re (с — а).
Перестановка порядка интегрирования допустима, если f-f Ree>0, и дает Ца)1(а-с+\)ЧГ(а, с; *) =
T + '«> оо
= 2^7 ^ dsT(— s)T(a — c-fs-f 1)| e^t«+*-* dt.
f — і со О
Вычисляя последний интеграл, получаем
?(« т) - ^rg Т +С ^ Г s>Г+ s)Г («- с + 1 + s) я {в, с, x)-2ni ^ Г(в)Г(в-е + 1) xra^
T — і оо6 6] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ V z^j
или, несколько изменяя обозначения,
Vla гх)- 1 'У" Г(д + 8)Г(-8)Г(1-С-8) V(a,r,x)-— J ______ * ds, (5)
1 — / OO
— Re в <7< min(0, 1—Rec), —у <arg*<^.
При выводе были сделаны более строгие ограничения, чем это необходимо. Ослабление условий, наложенных в (5), делается с помощью аналитического продотжения Устовия, наложенные на параметры в (4) и (5), мог\т быть ослабтены, если соответственно изменить путь интегрирования. В самом деле, равенство (4) (при любом у) справедтиво, если а не равно нулю или отрицательному целому числу, при условии, что контур интегрирования соответственно изоінут, если это необходимо, так, чтобы он отделял полюсы Г (— s) от полюсов Г (a -f- s). Точно так же равенство (5) справедливо (при любом Y), если ни а, ни а — с+1 не равны нулю или отрицательному целому числу, при условии, что путь интегрирования отделяет полюсы T(a + s) от полюсов Г(—s) Г(1—с — я). Условия на arg* не могут быть ослаблены.
Можно проверить, что функции (4) н (5) удовлетворяют уравнению 6.1 (2) (Уиттекер н Ватсон, 1961—1962, 16.4). Из (5) имеем