Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 68

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 87 >> Следующая


Любая ф)нкция Ф(а + т, с+ л; *), где т и п — целые числа, называется ассоциированной с Ф(а, с; х). Путем постедовчтепьного применения соотношений между смежными функциями легко доказать, что любые две ассоциированные функции связаны однородным линейным соотношением, ко)ффшшенты которого являются многочленами от х. С помощью почленного дифференцирования получаем

с;х) = ^-Ф(а+1, с+1;х), (8)

или Ф' = — Ф (а +, с +). Применяя это соотношение повторно, получаем,

что производные любого порядка функции ф являются ассоциированными функциями и, следовательно, любые три производные связаны однородным линейным соотношением, коэффициенты которого являются многочленами от х. Дифференциальное уравнение 6 1 (2) является простейшим примером такого соотношение. Комбинируя (3) с соотношениями между смежными функциями, получаем

Ф'= Jl[ф(« +) — ФJ = (-f — 1) Ф+) + ф = [ф — ф(С —1)]. (9) 6.5t ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 243

Дальнейшими полезными формулами являются dа (а)

?ргФ(а,с;х) = ±?-Ф(а + п,с + п-,х), (10)

dn dxn

dn dxn

dn dxa

dn dx* Здесь

[x «+"-!ф (а, с; j:)] = (а)пх"~1Ф (a + n, с; х), (11)

[^Фк с; ^ I = (- 1Г (1 - ^-'-"Ф (а, с-п;х), (12)

[с-'Ф(в> с- AT)j = (— 1)? (с~")л е~хФ(а, с + п; х), (13)

|~е-Лд,с-а+п-1ф (в> е. = (с — а)ле~хXc-a^ (а — п, с; х). (14)

(«), = 1, (о)я = а(а+1) ... (e + n-l) = ^^?),

и=1, 2, 3, ...

6.5. Основные интегральные представления

Известно, что однородное линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого являются линейными функциями независимого переменного, может быть проинтегрировано с помощью интеграла Лапласа. Интегральное представление

і

Ф(Д. с; *) = r(a)r<c> f е*»и°-1(1 -иу-*-Чи, Re с > Re в > 0, (1)

и

легко проверяется путем разложения е*и по степеням х. Это представление позволяет найти решение уравнения 6.1(2) в виде интеграла следующей формы:

у = ^ e-^a-i (1 + if-e-idt,

что может быть получено также с помощью метода Лапласа. Подставим это выражение в 6.1(2) и используем тождество

[x~??+ic~x}ib-а] lirxi^1 (l+^a-1!=~4t [e~Mta (l+

Мы получим, что если кривая С не проходит через особые точки подынтегральной функции н если начальное и конечное значения функции erxtta( 1 -j--f t)°~a конечны н равны друг другу, то интеграл удовлетворяет уравнению 6 1(2). Если Re с> Re в>0, то в качестве С можно выбрать интервал (0, — 1). Это показывает, что (1) удовлетворяет 6 1(2). Если Re a >0, то в качестве пути интегрирования можно выбрать луч, выходящий из начала координат. 244 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в

Положим

OO

W (а, е, х) = ^ ^ (1 + tr*~l dt, Ree>0. (2)

Это равенство определяет решение уравнения 6,1(2) в полуплоскости Re X > 0. Область определения может быть расширена путем поворота пути интегрирования. Таким образом,

OaeiV

4r^ е: *)=гЪ) $ e~xtt"~l (1 + Vc~a~ldt<

о

Re а > 0, — я < < л, — у < <f -f arg х < ~ . (3)

Здесь предполагается, что функции і0-1 и (1 + г)с~в~' принимают главные значения. Позже будет показано, что условия Re а > 0, соответственно Re с ъ> >Rea>0, моїут быть опущены, если ввести в формулы 6.11(2) и 6.11(1) контурные интеграны.

Другой тнп интегральных представлений использует интегралы Медлила—Бериса (см. 1.19). Формула

T — і оо

2

— 5"<arg(—д:)<^, 0>7> — Ree, сфО, 1, 2.....

может быть проверена путем вычисления интеграла как суммы вычетов подынтегральной функции в полюсах Г (— s).

Соответствующее представление для Ir получается путем подстановки в (2)

1 tV00

Г(в —с+1)(1+0^°-1 = ?^- J r(-s)r<a-c + s + l)**ds,

т — і оо

О > к> Re (с — а).

Перестановка порядка интегрирования допустима, если f-f Ree>0, и дает Ца)1(а-с+\)ЧГ(а, с; *) =

T + '«> оо

= 2^7 ^ dsT(— s)T(a — c-fs-f 1)| e^t«+*-* dt.

f — і со О

Вычисляя последний интеграл, получаем

?(« т) - ^rg Т +С ^ Г s>Г+ s)Г («- с + 1 + s) я {в, с, x)-2ni ^ Г(в)Г(в-е + 1) xra^

T — і оо 6 6] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ V z^j

или, несколько изменяя обозначения,

Vla гх)- 1 'У" Г(д + 8)Г(-8)Г(1-С-8) V(a,r,x)-— J ______ * ds, (5)

1 — / OO

— Re в <7< min(0, 1—Rec), —у <arg*<^.

При выводе были сделаны более строгие ограничения, чем это необходимо. Ослабление условий, наложенных в (5), делается с помощью аналитического продотжения Устовия, наложенные на параметры в (4) и (5), мог\т быть ослабтены, если соответственно изменить путь интегрирования. В самом деле, равенство (4) (при любом у) справедтиво, если а не равно нулю или отрицательному целому числу, при условии, что контур интегрирования соответственно изоінут, если это необходимо, так, чтобы он отделял полюсы Г (— s) от полюсов Г (a -f- s). Точно так же равенство (5) справедливо (при любом Y), если ни а, ни а — с+1 не равны нулю или отрицательному целому числу, при условии, что путь интегрирования отделяет полюсы T(a + s) от полюсов Г(—s) Г(1—с — я). Условия на arg* не могут быть ослаблены.

Можно проверить, что функции (4) н (5) удовлетворяют уравнению 6.1 (2) (Уиттекер н Ватсон, 1961—1962, 16.4). Из (5) имеем
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed