Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
TT Tjat+ щт +ViTt)
я JL E Г(«,) ' (3>
і
Где Jtj — произвольные вещественные или комплексные постоянные и щ и v. — любые целые числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулями. Возникает вопрос об описании, наиболее общего типа 5.71- • ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 219
рядов, удовлетворяющих определению Горна. Очевидно, что / и g должны удовлетворять при всех ш, я = 0, 1, 2, ... условию j
/(m, «)g(m + l, л)=/(т, n + l)g(m, п). (4)
Это условие должно выполняться тождественно полил, поскольку обе части равенства (4) равны m+'>"+' ¦ легко видеть, что любая пара рацио-
"тп
нальных функций от л и л, удовлетворяющая >сповию (4), порождает гипергеометрический ряд.
Биркеланд (Birkeland, 1927) установил, что любое рациональное решение ф)нкционального уравнения (4) может быть разюжено на линейные множители, что приводит к выражению Amn через произведение гамма-функций. Ope заметил (Ore, 1929), что теорема Биркеланда не обладает полной общностью, и дал (Ore, 1930) полное исследование рациональных решений уравнения (4) Из результатов Ope вытекает, что наиболее общей формой для Amn является
"ял-
Я(т, п) -\тпатЬп,
где R — фиксированная рациональная функция от ш и п, а и Ь — постоянные н •(„,„ — произведение гамма-ф>нкций. Это эквивалентно тому, что наиболее общий іипергеометрлческий ряд от двух переменных получается путем применения рациональною дифференциального оператора
к і ипергеометрическому ряду вида
Hbm (ахГ(Ьу)".
Поэтому достаточно рассматривать ряды типа Горна—Биркеланда.' 5.7.1. Список Гориа. Горн положил
»
где F, Р, G, Qr — многочлены от ш н я, имеющие соответственно степени р, р', q, q'. При этом предполагается, что F' имеет множитель /71 + 1, a G-множитель /г+1; F^F' te имеют общих множителей, за исключением, быть может, т + 1, а Cr и G' ье имеют общих множителей, за исключением, быть может, я+1. Наибольшее из четырех чисел р, р, q, q' называют порядком іипергеометрического ряда. Горн исследовал, в частности, гипергеометрические ряды второго порядка. Он }становил, что, кроме ьекоторых рядов, выражаемых через ряды от одного переменною или через произведения дв\х гипергеометрических ркдов, каждый из которых зависит от одного переменного, смцествмот 34 с)щественьо разльчных сходящихся рнда порядка 2 (Horn, 1931, исправления см у Borngdsser, 1933). С)ществ>ют 14 полных рядов, для которых p—p' = q=^q'=2:
_ F1 (a, P. P', Ъ У) = 2 {а\7"1птМП хт>% (6)
_ ./>(«, M', > Л', = 1 (7) 220 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПРРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. 5 Ft («, «', р, P', ъ х, у) = 2 ^ <8)
G1 («, P. P', >) = J ^myli (10)
GJa, «', Р, P', Jf) = J (а)/"(а')п(^,тФ')Л"П (11)
G1(«, «', л:, у) = 2 (12)
H1 (а, Р. Ь, х, у) = J w^fIuIw* 'Т. (І»)
/Zi (а, р, Т, Ї, «, х, у)= 2 (a)gi"(")(^ur(8),t <14>
(15) Об)
//,(а, р, Т, ЛГ, 3^) = 2 (Я(71+«]Р^"" <17>
Я, («, Р, 7, X, у) = ^ (18)
н, («, р, 7, », *, л - 2 (19)
я существуют 20 вырожденных рядов, которые являются предельными формами для полных рядов и для которых р г? р' = 2, q^q' = 2, причем и q не могут одновременно равняться двум:
I * I < Ь (20)
•Л ft ъх. ^)-2(???^. (21)
ф.си*,*)=2 шВш*"1**' W
»,fr, т» Г. ^Л-2 WfeuT^' w
S1K^Pit.*, J') = 2(l^W^m!LjC'e-ye' I-rK1' (25) ї. <26) 5.71- • ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 221
Г,(«, Р, P', Jf1 у) = ] р (а)т Ф)п-т (?')m-n JfUivB d mini У ' І*І<1, (27)
Г,(Р, fr, х, у) = ] і? (P)n-ffl (P')ffl-n „m..n L ml я! ху ' (28)
H1 (а, ?, Ь, х, у) = ] і? (а)т-п (P)m+n xmvn |*|<1, (29)
Hs («, Р. Ъ ь< х,у) = ^ р (a)m-n(P)m(7)« -І (8)m «і «1 * ' IXІ < 1, (ЗО)
Н,(«, Р» », х, У) = ] р («)т-» (Р)т дШуП Ы (S)m т!«! ' |*|<1, (31)
H1K 7. х, у) = ^ р («)т-в vmvn d (»)m ml я! ^ ' (32)
H5 (а, 8, х, у) = ^ fl (а)т~п тап Ii (S)m ml пі ^ ' (33)
Н, (а, * х, у) = Л р (®)s rn+n д.Иу/1 -/(7)т+пт!я! , 1 І*І<4". (34)
H7 (в, Ъ в, х, у) = ^ І Wm (S)n ті"! У' (35)
Н»(в, ft х,у) = 1 P (®)ат-я (Р)л-т ^mvrH d ті я! ' ' l*l<j. (36)
Н,(«. ft ». У) = ] p(a)am-rt(?)n „тип L (S)m ті яі * 7 • (37)
H до (а, Ъ, X, у) =^ P (ahm-n „т я і (S)ffl ті я! ' \х\<\, (38)
H11 (в, ft 7, Ь; х, у = ^ ?1 (а)т-л (Р)п Wn L (S)m ті я! ** ' IJM <1- (39)
Во всех этих двойных рядах тип изменяются от 0 до оо.
5.7.2. Сходимость рядов. Положительные числа г я і называют ассоциированными радиусами сходимости двойного степенного ряда 2 Лтпхтул, если этот степенной ряд абсолютно сходится прн 1лг|<г, |v|<;s и расходится прн I x\>r, |j( I >s. Положим max г = У?, max s = S. Точки (г, s), где г и s — ассоциированные радиусы сходимости данного ряда, лежат на кривой С, целиком расположенной в прямоугольнике 0<.r<R, 0 <s<S. Эта кривая делит прямоугольник на две части; часть, в которой лежит точка г = s = 0, является двумерным изображением области сходимости двойного степенного ряда.
Изучая сходнмосіь ряда (1), Горн ввел функции
Ф(ц, V)= lim/O*, vu), v) = Iim ч0 (40)
/-¦со /-»со
и показал, что /? = [Ф(1, 0)|-1, S=s|?(0, I) J-1 и что С имеет параметрическое представление г=|Ф(ц, v)|~l, S = ] !"(ц, v)|-1, ц, *>0.
