Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ЧГ(а, с; X) = X1-cV(а —с+ 1, 2-е; х). (6)
Если с не является целым числом, то полюсы Г(—я)Г(1—с — s)—простые. Вычисление (5) как суммы вычетов подынтегральной функции в этих полюсах приводит к важному соотношению
*(°' с; х) = r(g-7+l) Ф(в' С;Х) +ГГЙ 1>Дг1~С*>{a-c + \,2-c-,x) (I)
между функциями фиф*.
6.6. Элементарные соотношения для функции ЧГ
Функция 1F была введена Трикоми (1927), который обозначил ее через а. Она связана с <р\нкциями F1 (Meixner, 1933), E(а, ? : : л:) (MacRobert, 1941) и »Л, (я, ?; х) (Erdelyi, 1939) соотношениями
Е(щ ? : : л:) = Г(а)Г(р)*«Ф(а, а-?+l; *), (1)
F1 (а, 7, л:) = T («, і; х), (2)
ЛК fc~) = *«w<«, а-? + l; х). (3)
W (в, с; х) является многозначной функцией от х, и обычно будет рассматриваться главная ветвь это1 функции в плоскости, разрезанной вдоль отрите TC
цательной вещественной полуоси. При — ^ ^ T ^ 2 она 0ПРеделяется Pa" венстиом 6.5(3). 246 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл в
Многие элементарные соотношения для функции W непосредственно вытекают из соответствующих соотношений 6.4 для Ф
W(e—) — (2e— с +х)Ф + а(а — с+ 1)1-(в+) = 0, (4)
(с —е- 1)У(е—) —(с—1 + л:)У + л:У(с+) = 0, (5)
1--0 1(0+)-1-(0-) = 0, (6)
(с в) 1* X W (с + ) + 1* (в — ) = 0, (7)
(в + Х) W + e(C-в-1)1-(в + ) —л:1-(с + ) = 0, (8)
(в— 1+ л:) !--!(в-) + (в— с +1)1- (?-) = 0, (9) 1" = —в1-(в+, с + ) = 1-—1-(с + ) =
= -j[(e-C+l)'T(e+)-'r] = i[(e-c + A:)y-y(d-)J, (10) dn
V (в, с; *) = (-!)»(«)„ *(« + «, е + и; х), (11)
dn dxn dn dxn
dn dxn
dn dx«
4^=(-1)"^-'+!).^"""'^^, c — Kx\ (12)
[^"+"-'!•(в, <5 Ar)J = (e)„(e-c+l)„^-»l-(a + n, Cj X), (13)
|в-*1-(в, с; x)J = (-Iye-jcI-(в, c + n; x), (14)
|~в-*л*-*+»-і1-(в, <r, *)] = ( — Ife-xXc-"-^ (а— n, с; x). (15)
6.7. Фундаментальная система решений для вырожденного гипергеометрического уравнения
В п. 6.3 были указаны четыре решения yt.....yt вырожденного гипергеометрического уравненвя. Из результатов п. 6.5 и п. 6.3 вытекает, что четыре других решения определяются формулами
Л = Ir (в, с; х), (1)
Ув — х1~с 1" (а — с + 1, 2 — с; х), (2)
у7 = ехЧ?(с — а, с; — х), (3)
yt = exx1~cW(\ — a,2 — c;—x). (4)
В п. 6.3 была изучена связь между четырьмя решениями^,, ...,^4. В частности, было показано, что если с ие является целым числом, то уі=уг н yt=yt образуют фундаментальную систему решений уравнений 6.1 (2). Теперь осталось изучить четыре решения ..,?. В этом пункте будем предполагать, что с не является целым числом. Особый случай будет изучен в следующем пункте.
Из 6.5(6) следует, что
Л = Л» У*=-е-ы«сУт, (5)
где » = sign (Im дг) = 1, если Im х> 0, = -1, если Imx < 0 (этим обозначением будем пользоваться иа протяжении данною пункта). Множителье!'""-с* 6.7] ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИИ 247
связан с условием, определяющим д:1_с. Таким образом, остаются четыре, вообще говоря, различных решения^ =у„ у2=у4, у5 = ув и у, = е'««'«-» ^8, Все этн решения определены, еслн с не является целым числом. Их определители Вронского, см. 6.3(8), имеют вид Wpg = Kpq ек JTc, где
if _і . к
Ala— ' Ai6— Г (в)"
Ks7 = е*- «-«, K17 = г(^а)
6 Г (в — с + 1)' К*'--Г (1-а)' W
Вообще, то есть если с, а, с — а не являются целыми числами, любые два нз этнх четырех решений различны н обраіуот фунцаментальну-о систему. Однако есчн ге означает неотрицательное целое число не = — ге, то Wlj тождественно равно нулю, а потому у, Hy5 отличаются друї от друга лишь постоянным множитетем; 6.5(7) показывает, что это дейС)внтельно так Аналогично, еслн а = 1 ге, то совпадают ya н у7; если с — а =—ге, совпадают у, н у7, а если с — а = 1 -f ге, то у і и у, отличаются друг от друга чишь постоянным множителем. Еслн с — целое число, то лнбо у„ лнбо у2 не определено н не может быть исполь овано Значение Wbl было выведено из W12 н 6.5(7) прн условии, что с не является целым числом. Однако, в силу непрерывности, оно счроведливо и для целых значений с. Так как оно не обращается в нуль тождественно по х, то уч н у7 прн всех обстоятельствах образуют фундаментальную систему решений уравнения 6 1 (2).
Выражение для ? через Ф дано формулой 6.5(7). Обратное выражение Ф через Ф" потучаегся путем записи выражения, аналогичного выражению 6.5 (!) для у7, н исключения одной из двух Ф-функций. Результат имеет вид
Ф (.а, с• х) = eha* W (в, с; *) + Jgj- е<* >«~с>' е* V (с - а, (7)
Аналогичная формула имеет место для ya. Из (7) и 6.5 (7) могут быть получены следующие соотношения между решениями вырожденного гипергеометрического уравнения:
Г(1 — с) . Г (с— 1) ...
* = Г (а— с -f- 1) * + (8) _ TO-T1 T(C^l) ,
^7-Г(1-а, Г(с-в) е У» W
* = Г (Г—g) ^Л +Ebua-cla^ (Ю)
Уг-Г [ Г(1 — e)^s Г (в — с + 1) J* 1 '
6.7.1. Логарифмический случай. Функция Ф (в, с; х) является целой ' функцией от х, а также целой функцией от а. Рассматриваемая как функция от с, функция Ф имеет полюсы и соответственно этому ие определена в точках ?=0, —1, —2, ... Однако имеет место соотношение
Um Ф(д' с; *> =Щ^х"Ф (а + п, 1 + ге; х), и=1, 2, 3, ..., (12;
