Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 72

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 87 >> Следующая


X _ J^

swsF^ J'"" «.gj ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА 255

Функции параболического цилиндра из гл. 8 также являются вырожденными гипергеометрическими функциями:

O,(jt) = 22e 4 ШЛ 2 ' 2 ' 2 Х I

Ь И- <31>

Их частным случаем являются многочлены Эрмита

= bl»)- <32>

где л—неотрицательное целое число.

Далее Ir (а, 0; х) = х ЧГ(а +1, 2; х) связана с функцией Бейтмена

Av , где V = — . Первоначально Бейтмен положил

я

J

ft, (х) = — С cos (X tg 8 — ч0) de (33)

при вещественных значениях х и ч. Тогда

Г (ч + 1) ft„ (*) = г* Ir (- м, 0; 2х) для Jt > 0. (34)

Это равенство полезно рассматривать как определение функции k в разрезанной плоскости. По первоначальному определению Бейтмена ft, (—х) ~ — (¦*¦)¦ Эта формула перестает быть справедливой, если использовать определение (34). Вместо нее имеем

ku (- S rfc t0) = ft_2, (?) — "'И Ф (— v. 0; - 25), S > 0. (35)

Если а — отрицательное целое число, то Ф и Ir являются многочленами от Jt, связанными с обобщенными многочленами Лагерра из гл. 10

W = (" V)g *<-«•«+':*) =-?^- V (- Л, a + I; X), (36)

л = 0, 1, 2, ...

Так называемая функция Лагерра при произвольных значениях ч является просто иной записью для вырожденных іипергеометрических функций (Pm-пеу, 1946)

zStl^=Tfr+° + х)- {37>

Если с — а — 1 — неотрицательное целое число, то xc~l T (а, с; х) является многочленом и

«¦(в, в + я+ 1; х) = хТа~пЧГ(— п, 1-е —л; Jt) =

= (O)nX-*'* ф (- л, 1 - в - я; Jt) = (a)ax-«-*L{- а ~ п)(х), (38)

л=0, 1, 2, ... 256 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 1Гл. &

Можно доказать (Erdelyi, 1937f), что вырожденное уравнение тогда и только тогда имеет решение, являющееся конечной комбинацией элементарных функций, ко! да либо а, либо с—а — целое число.

Важное значение имеют многочлены Пуассона — Шарлье (Сеге, 1962), встречающиеся в теорнн вероятностей. Онн могут быть выражены с помощью вырожденной гнпергеометрнческой функции в виде

ра (X) = у===-(х -п + l)ft Ф (- п, * - п + I; а). (39)

Так называемая функция Торонто (Heatley, 1943) определяется равей-CTBOM

Т(т, п, х) = х2п-т+1е-** г\21 + П) п+1;х). (40)

Следующая таблица дает информацию относительно наиболее важных ¦частных и предельных случаев вырожденной гипергеометрической функции.

Частные случаа вырожденной гапергеометрической функции

Параметры Функции

a— I1S,... Неполная гамма-функция и ее частные случаи

о=0, — 1, — 2, ... Многочлены Лагерра

а -»оо Функции Fecceifl

с = O^ с = 2 Л-функция Ьейтмена

C=-J-, с*=-фикции параболического цилиидоа

с =а 8іеменіарньіе функции, неполная гамма-функция

с —а = 1, 2, 3, ... Ф -мноючіекьі Лаіерра

ty — неполная гамма-функция

с =1а Функция Бессеїя

с =а = 1 Интегральная экспонента и связанные с ней функции 1 3

а = -g-, c = -j Интеграл вераяїносгей и связанные с ним функции

6.10. Преобразование Лапласа и вырожденная гипергеометрическая функция

Для преобразования Лапласа функции F(t) будем использовать обозначение

OO

L {F(t)\ s} = j F (t) dt =/(s). (1)

Часто будем писать короче: L (Fj-. Из теории преобразования Лапласа известно, что если L(F1) и L(Fs) абсолютно сходятся, то имеет место теорема умножения

і { j F1 (и) Ft(t-u) du} = L (F1 (t) )L\Pi (і)}. (2)

Далее известно, что комплексная формула обращения

IhT00

F(t) = ~ j- me«ds (3)

1 — iao 6.10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 257

справедлива, например, если L {F} абсолютно сходится при Re s = 7, а функции F(x) имеет ограниченное изменение и непрерывна в некоторой окрестности точки L Бесконечный интеграл понимается, вообще, в смысле главного

т + м

значения Коши, то есть как lim \ , когда Л—»оо. Однако если функция f(s)

т — 'А

абсолютно интегрируема на прямой Res=?, можно просто писать в фор-

T-Klco

муле (3) \ .

х — f OO

Известно много пар преобразований Лапласа, в которые входит вырожденная гипергеометрическая функция. Можно переписать формулу 6.5(2) в виде

L{t*-l(\ +0е-«-1}= Г (в) V (в, с; х), Re « > О, Re s > 0. (4)

Далее, при Re 0 и Re s >• max (0, Re ft), ) s | > ft |, имеем L Ue^i Ф (а, с; kt)} = Г (b) S~b F (a, b; с; As"1) =

= r($)(s-ft)-»/^c-a, b\ tr, |s —ft|>|ft|. (5)

Первая формула может быть получсна либо путем почленного интегрирование степенного ряда для функции Ф, либо из формулы 65(1) и интеграла Эйлера ця гиперіеометрического ряда Га\сса. Вторая формула получается с помощью преобразования Эйлера первой формулы Если ft — отрицательное вещественное число, то при условии, что Re а > Re h, можно перейти в формуле (5) к пределу, когда s —> оо. При Ь = с (5) принимает более простой вид

L {f-~l Ф (а, с, t)} =T (с) s~c(\— s—1)-а, (6)

« Re с > 0, Re s > 1.

Из (5), 6.5(7) и 2.9(33) вытекает, что

L W (а, с; t)} =

T(b)T(b — ?+1) , . . . . ... . = T(M=Tjl) F(b,b-c+\;a + b-c+ 1; 1-s) =

Re 6 > O1 Re с < Re ? + 1, |1 —s|<l,

Res>y.

Этот рез\льтат может быть записан во многих эквивалентных формах и может быть распространен с помощью аналитического продолжения на полуплоскость Re s >0. Если Re а > Re Ъ, можно перейти в формуле (7) к пределу, когда s —> + 0.
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed