Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 71

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 87 >> Следующая


принимает неопределенный вид, но если записать ее,в виде 2jci Y Г(а — с+г+1).

Г (а) Г (а— ?+1) Г(2 —с+г)

г = 0



то с можно устремить к 1 + я (л = 1, 2, ...). Это приводит к равенству

9 ж/

Л=(~ F(F=TT)ф(а' 1 -S)' (16>

?>0, с=1+я, я = 0, 1, 2, ...

Функция ЧГ(а, с; х) однозначна в следующих сл)чаях; 1) если а = 0, —1, — 2, .,,; в этом случае TF является мнопчлеком от л: и, в силу 6.5(7), кратно Ф и 2) если с = я+1, я = 1, 2, ..., и а является одним из целых 1, 2, ..., я; в этом сл)чае 6.7(12) показывает, что 1F—мнопчлен от х~1.

Поведение ЧГ, когда х обходит вокруг начала координат, видно из формулы

W (а, с; xesm") =

= Timni W (а, с; х) + (1 - е~*тс") г(^7+1)ф <а> с; *>> (17>

ш = 0, ±1, ±2, ...

6.9. Функции Уиттекера

Для некоторых целей удобнее использовать обозначения Уиттекера. Уит-текер записывает вырожденные уравнения в стандартной форме 6.1(4). Иа 6.2(13), где

л = —1» b = c, a = i=0, ? = — а,

видно, что

—__?_

S (а, с; х) = е3х 2 t»(x, ft, х), с с 1

где X = —а+-^-, ft = "2---2"• Двумя решениями уравнения Уиттекера'

являются функции Уиттекера

MX)V.(x) = e 2X2 Ф(а, с; х) = ги к '

-- - 1 ^.,Л*)=« 2х* V{а, С, X) = a = T-x + ft, c = 2ft+l. (2)

Следовательно,

х___1__

Ф(а, с; х) = е2х 3 ^Mxtll(X), (>

- ---V- с 1

!•(а, с; х) = е3х 3 Wrxtlu(X), x = j — a, fi = y — у. (4)

Имеем также в обозначениях 6.6(3)

X

'*> и-

(Х)=Є 3X\F^X2 -Х+(Х,у-Х-(Х, — j). (5) 252 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в

Дальнейшие решения уравнения Уиттекера 6.1(14) могут быть получены из п. 6.3 и 6.7. Обозначая соответствующие решения 6.1(2) и 6.1(4) теми же самыми индексами, имеем

2* = Mxr (х), zt = ALxj ^ (— х), Zi = ALt, (— х),

= K, -р.(х), Zt=W^l, лг). (6)

Преобразование Куммера 6.3(7) показывает, что

Af1, „ (X) = е^ ^ + ^AL,, „ (- х), (7)

тде є = 1, если Iui (х) > 0, и е = — 1, если Im (л-) <0. Преобразование 6.5(6) ¦показывает, что

Wx,^ (х) = Wx, ^ (х). (8)

Уиттекер определяет решение M равенством (1), а определение Wr основывает на интегральном представлении, эквивалентном 6.5(2).

Бухгольц (Buchholz, 1943 и дальнейшие работы) использует обозначения

4Ґ «=p(z}' ' 2

6.9.1. Функции Бесселя. Если* = 0, уравнение Уиттекера 6.1(4) легко сводится к уравнению Бесселя 6.2(5). Результат выражается формулой

w(0,tx,x) =VxCviI^ixy

В обозначениях 6.1(2) это соответствует случаю с = 2а. Связь между функциями Бесселя и вырожденной гипергеометрической функцией выражается следующими формулами, в которых использованы обычные обозначения для функций Бесселя (см. Ватсон, 1949)

= + '+2^). (9)

W=TF+Т) + ^ 1 + 2v; 2х). 1 '1

. 1 L1O,1

М,,^(2іх) = (2іх) 2 A11(X) = T (ix+ 1)1 22 2 Vx J11(X), (U)

21 ¦ /1 \ •=—y^elt*-'*f(2xyw[-2-+М, 1 +2ч; —2lxJ =

-1/5^^^4.("Я«). (12) «.gj ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА 254

(Для Н™ изменить <на — і.)

К., (X)=V* е-' (Іху V (-2 + Л 1 + 2дг], (13>

=J/^*, (у), (14>

УAx) = ---7-(2*)' X

JC

х I „« .VK-JCI чг 4- ^ 14- 2м; 2ix) 4- в«*-»«» чг ^ 4- 1 + —2**)]. П5>

Функции Бесселя встречаются также как предельный случай вырожденных гипергеометрических функций. Выполняя почленно предельный переход, получаем

Iim Ф (а, с; - =Г(с) V^Jc-i (2 /*)• (16)

a -too V " /

Соответствующий результат для функции ЧГ может быть получен при неце--лых с из 6.5(7). Из формулы Стирлиига или из 1.18(4), имеем

Г (1 -(- а — с) .

Л"«, *"Г(а) -1-

Этот результат вместе с формулами (16) и 6.5(7) показывает, что

Лт»[г(а-с+1),г(а'с:-й]= _ •

= жёг P гъ-+J=

_ _ іжш Y ^=C ff,v_ x (2 Vx) = (Im X >0),

= («г*« Vx^iH'*L ,(2/*) (Im X < 0). (17) Аналогично доказательство равенств

Iim

а-* оо

Ф [а, с; ^) = Г(е) VXх ~сIc^l (2 Vx), (18)-

^limo [г (а - с 4- 1) Ф (a, ?,- -J )] = 2 / JP=* Ke-i (2 V *). (19)

6.9.2. Другие частные случаи вырожденной гипергеометрической функции. Соотношение

Ф(а, а; х) = е* (20)

очевидно. Многие другие специальные функции также могут быть выражены через вырожденную гипергеометрическую функцию. Первую группу таких функций образует неполная гамма-функцая м связанные с ней функции. 254 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл 6

JB силу 6.5(2) и 6.5(6), а также 6.5(7) и 6.3(7), получаем

OO

Г (а, х) = $ е-'*"-1 = V (1 — а, 1-е; х), (21)

X

К (о, х) = Г (в) — Г (о, х) = U-iXa Ф (a, a + I; —х). (22)

Для интеграла вероятностей имеем

X

Eri(X)= = х«)=хф(і (23)

6 OO

EriC(X)= Je-fl^ = Ir ^i1 = (і, (24)

X

Для интегральной показательной функции, интегральной логарифмической функции, интегральных синуса и косинуса и интегралов Френеля имеем

OO

— Ei (— X) = \ertr1dt = <r*4( 1, 1; х), (25)

X

X

Jt

= Ei (In х) = — X ?- (1, 1; —In X), (26)

Si

X оо

(х)= ^ Г1 Sin fdf=|- — ^ Г1 8ІПҐЛ =

= ~ - ~ ie-'* чГ (1, 1; ix) + ~ iet* Ф- (1,1;- ix), (27)

OO

Ci(x) = — J Г1 Costdt =

X

—- ^ e-iJf T (1, 1; І*) — у e''* V (1, 1; — fx), (28)

* _!

C(x)=-J-Cf 2 COStdt =

V 2* j

-у&Ит- I=-VH21. % <*>
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed