Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
принимает неопределенный вид, но если записать ее,в виде 2jci Y Г(а — с+г+1).
Г (а) Г (а— ?+1) Г(2 —с+г)
г = 0
то с можно устремить к 1 + я (л = 1, 2, ...). Это приводит к равенству
9 ж/
Л=(~ F(F=TT)ф(а' 1 -S)' (16>
?>0, с=1+я, я = 0, 1, 2, ...
Функция ЧГ(а, с; х) однозначна в следующих сл)чаях; 1) если а = 0, —1, — 2, .,,; в этом случае TF является мнопчлеком от л: и, в силу 6.5(7), кратно Ф и 2) если с = я+1, я = 1, 2, ..., и а является одним из целых 1, 2, ..., я; в этом сл)чае 6.7(12) показывает, что 1F—мнопчлен от х~1.
Поведение ЧГ, когда х обходит вокруг начала координат, видно из формулы
W (а, с; xesm") =
= Timni W (а, с; х) + (1 - е~*тс") г(^7+1)ф <а> с; *>> (17>
ш = 0, ±1, ±2, ...
6.9. Функции Уиттекера
Для некоторых целей удобнее использовать обозначения Уиттекера. Уит-текер записывает вырожденные уравнения в стандартной форме 6.1(4). Иа 6.2(13), где
л = —1» b = c, a = i=0, ? = — а,
видно, что
—__?_
S (а, с; х) = е3х 2 t»(x, ft, х), с с 1
где X = —а+-^-, ft = "2---2"• Двумя решениями уравнения Уиттекера'
являются функции Уиттекера
MX)V.(x) = e 2X2 Ф(а, с; х) = ги к '
-- - 1 ^.,Л*)=« 2х* V{а, С, X) = a = T-x + ft, c = 2ft+l. (2)
Следовательно,
х___1__
Ф(а, с; х) = е2х 3 ^Mxtll(X), (>
- ---V- с 1
!•(а, с; х) = е3х 3 Wrxtlu(X), x = j — a, fi = y — у. (4)
Имеем также в обозначениях 6.6(3)
X
'*> и-
(Х)=Є 3X\F^X2 -Х+(Х,у-Х-(Х, — j). (5)252 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
Дальнейшие решения уравнения Уиттекера 6.1(14) могут быть получены из п. 6.3 и 6.7. Обозначая соответствующие решения 6.1(2) и 6.1(4) теми же самыми индексами, имеем
2* = Mxr (х), zt = ALxj ^ (— х), Zi = ALt, (— х),
= K, -р.(х), Zt=W^l, лг). (6)
Преобразование Куммера 6.3(7) показывает, что
Af1, „ (X) = е^ ^ + ^AL,, „ (- х), (7)
тде є = 1, если Iui (х) > 0, и е = — 1, если Im (л-) <0. Преобразование 6.5(6) ¦показывает, что
Wx,^ (х) = Wx, ^ (х). (8)
Уиттекер определяет решение M равенством (1), а определение Wr основывает на интегральном представлении, эквивалентном 6.5(2).
Бухгольц (Buchholz, 1943 и дальнейшие работы) использует обозначения
4Ґ «=p(z}' ' 2
6.9.1. Функции Бесселя. Если* = 0, уравнение Уиттекера 6.1(4) легко сводится к уравнению Бесселя 6.2(5). Результат выражается формулой
w(0,tx,x) =VxCviI^ixy
В обозначениях 6.1(2) это соответствует случаю с = 2а. Связь между функциями Бесселя и вырожденной гипергеометрической функцией выражается следующими формулами, в которых использованы обычные обозначения для функций Бесселя (см. Ватсон, 1949)
= + '+2^). (9)
W=TF+Т) + ^ 1 + 2v; 2х). 1 '1
. 1 L1O,1
М,,^(2іх) = (2іх) 2 A11(X) = T (ix+ 1)1 22 2 Vx J11(X), (U)
21 ¦ /1 \ •=—y^elt*-'*f(2xyw[-2-+М, 1 +2ч; —2lxJ =
-1/5^^^4.("Я«). (12)«.gj ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА 254
(Для Н™ изменить <на — і.)
К., (X)=V* е-' (Іху V (-2 + Л 1 + 2дг], (13>
=J/^*, (у), (14>
УAx) = ---7-(2*)' X
JC
х I „« .VK-JCI чг 4- ^ 14- 2м; 2ix) 4- в«*-»«» чг ^ 4- 1 + —2**)]. П5>
Функции Бесселя встречаются также как предельный случай вырожденных гипергеометрических функций. Выполняя почленно предельный переход, получаем
Iim Ф (а, с; - =Г(с) V^Jc-i (2 /*)• (16)
a -too V " /
Соответствующий результат для функции ЧГ может быть получен при неце--лых с из 6.5(7). Из формулы Стирлиига или из 1.18(4), имеем
Г (1 -(- а — с) .
Л"«, *"Г(а) -1-
Этот результат вместе с формулами (16) и 6.5(7) показывает, что
Лт»[г(а-с+1),г(а'с:-й]= _ •
= жёг P гъ-+J=
_ _ іжш Y ^=C ff,v_ x (2 Vx) = (Im X >0),
= («г*« Vx^iH'*L ,(2/*) (Im X < 0). (17) Аналогично доказательство равенств
Iim
а-* оо
Ф [а, с; ^) = Г(е) VXх ~сIc^l (2 Vx), (18)-
^limo [г (а - с 4- 1) Ф (a, ?,- -J )] = 2 / JP=* Ke-i (2 V *). (19)
6.9.2. Другие частные случаи вырожденной гипергеометрической функции. Соотношение
Ф(а, а; х) = е* (20)
очевидно. Многие другие специальные функции также могут быть выражены через вырожденную гипергеометрическую функцию. Первую группу таких функций образует неполная гамма-функцая м связанные с ней функции.254 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл 6
JB силу 6.5(2) и 6.5(6), а также 6.5(7) и 6.3(7), получаем
OO
Г (а, х) = $ е-'*"-1 = V (1 — а, 1-е; х), (21)
X
К (о, х) = Г (в) — Г (о, х) = U-iXa Ф (a, a + I; —х). (22)
Для интеграла вероятностей имеем
X
Eri(X)= = х«)=хф(і (23)
6 OO
EriC(X)= Je-fl^ = Ir ^i1 = (і, (24)
X
Для интегральной показательной функции, интегральной логарифмической функции, интегральных синуса и косинуса и интегралов Френеля имеем
OO
— Ei (— X) = \ertr1dt = <r*4( 1, 1; х), (25)
X
X
Jt
= Ei (In х) = — X ?- (1, 1; —In X), (26)
Si
X оо
(х)= ^ Г1 Sin fdf=|- — ^ Г1 8ІПҐЛ =
= ~ - ~ ie-'* чГ (1, 1; ix) + ~ iet* Ф- (1,1;- ix), (27)
OO
Ci(x) = — J Г1 Costdt =
X
—- ^ e-iJf T (1, 1; І*) — у e''* V (1, 1; — fx), (28)
* _!
C(x)=-J-Cf 2 COStdt =
V 2* j
-у&Ит- I=-VH21. % <*>