Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Другие соотношения, связывающие P и Q, имеют вид Pf-(X) Qifif (X) - Pfif (х) Qf » (X) =
-2-3- (2„ +a + р) (,-!)- (х + 1)~Р, (26)
Pf-31 W 4; Qf® (X) ~ Qf- wW-JZ Pf- » (X) =
_ _У+И г (Я + а + 1) Г (л + P + 1) , з_!
«І Г (n+a+ ? + 1) {Х '' (JC+1) • <27)
Они показывают, что Qjflpl удовлетворяет той же формуле дифференцирования (15), что и Pf-m 174 гл. !0. ортогональные многочлены j вол
Из теории гипергеометрических функций получаем интегральные представления для Q^' Простейшим из них является представление
(
Q{n'?) W = 2-"-1 (х-1)-« (х + 1)-Є J (х-і)-"-' (1 —t)nfa (1 +0"+Р dt,
-1
(28)
справедливое, если х лежит в комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [ — 1, 1]
V. Производящая функцгя. Имеет место равенство
со /1=0
где
R^yi—lxz + z* (30)
и Rпри г = 0. Относительно различных способов доказательства равенства (29) см. Cere (1962, п. 4.4). При частных значениях а, ? существуют другие производящие функции.
VL Интегральные представления Из формулы Родрига (10) имеем
(Jf+)
где X Ф ± 1 а интегрирование ведется по простому замкнутому контуру, охватывающему в положительном направлении t *= х. Точки t =» ± 1
лежат внутри контура, и функции и (у^^) выбираются іак,
чтобы при t = X их значения равнялись единице.
Дальнейшие интегральные представления могут быть получены из интегралов, ныражакмцих гипергеометрическую функцию с помощью формулы (16)
VII Различные результаты. Применим формулу Кристоффеля 103(12) к случаю w (•*)= (1 — *)а (1 + xf, р (X) — 1 — х В силу (3) получаем
~ (л+а-И)(*)-(« +(32)
и аналогично
-И + Р + !)/*0-w W + (n +1) ^ftf (*)- (33) 10.9( \ 10.9. МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБАУЭРА 175
Эти соотношения являются примерами соотношений между смежными гипер-геометрическцми функциями (см. 2.8 (31) —2.8 (45)); другими соотношениями той же природы являются
(1 —Jf) P<,a+I- » (X) 4-(1+Jf) Pf е+1) (X) - 2 Pf ® (л:), (34)
(2« + а + Р)P'0-1' »(X) - (п + а + р) Pf » (х)-(n + ?) Pfif (х). (35)
(2* + а +?)Pf P-"(X) = (я + а + ?) Pf йИ + («+«) Pf.Js' <*), (36)
Pf 11W -ff'1' р) (Jt) = P^ifi W- (37)
Повторное применение этих формул позволяет выразить P+ft,(jr)
для любых целых hak через Pf р)(*)-Из формулы Родрига (10) имеем
JT
2л J (1-у)а(1 + У)р Pf р) (у) dy =
- PfV' р+1) (0) - (1 -Аг)а+1 (1 + x)V+1 Pf+1- f+1» (л:). (38)
Тоскано (Toscano, 1949) иашел аналог формулы Родрига в терминах конечных разностей. Определим разностные операторы формулами
AaF (a) = Zr (a+IJ-Zr (a), Aj^ = Ae (^'1F). (39)
Результат Тоскано можно записать в и и де
л'Г(о + р + я+1)Pf ® (ж) =
In
і)"Г(а+я+і) гГ(«+р+/«+1) /InfLr1I (4m t(l —Jf)/2]a+I H Г (.+ 1) { 2 j J' m
Наконец, имеет место важное предельное соотношение
P- 3. (cos?)] = Pf *>(l-?)] - (?р.(,), (41)
где Ja—функция Бесселя первого рода. Эта формула справедлива для любых аир равномерно в любой ограниченной области комплексной плоскости г.
10.9. Многочлены Гегенбауэра
Мы будем использовать обозначение Гегенбауэра Cn (х) для соответственно стандартизированных многочленов, связанных с
х-4
Л = —1, ft-1, W(X) = (I-Xt) 2, X = I-Jf'. (1)
Эти многочлены называют также ультрасферическими многочленами и часто обозначают через P^(Jf) Очевидно, что многочлены Гегенбауэра
отличаются от многочленов Якоби при a ? — Л — лишь постоянным 176 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ j |Ш»
множителем Для того чтобы весовая функция была вещественной в интегрируемо» потребуем, чтобы выполнялось условие I
/ (2)
хотя многие из формальных соотношений остаются справедливыми и без •того ограничения Относительно этих многочленов см. также п. 3.15. 1. Стандартизация.
?(1)-("+^"1)-^. (3)
Сравнивая с 10.8(3), получаем
(х + 1)я С\(х) = (IX)n Pf ">(*)¦ « = Х-І. (4)
Выбранная стандартизация (3) утрачивает силу, если 2л есть нуль или отрицательное целое число. Единственным исключением в области (2) является точка А = 0. При Я = 0 введем стандартизацию условием
Cg(I) = I, C0w(I) = !. "-1, (5)
Тогда нмееі место соотношение
C0n(X)= Iim -7) {х).
JL*co Ml
I 2 Jb
(6)
Во многих формулах атого пункта значение Я = 0 иолжно быть исключена Лот случай будет отдельно рассмотрен в п. 10.10.
II. Постоянные.
(л + Л)яІГ(Я) Ая^У^(2Х)„г(х+і-), (I)
ЯI—2я (X)n, гя = Ol (2Х)я/(, = (-2)я(х-ь1)п. (8)
(л4-1)i4„ = 2(л X), О, (л+1)Ся = л+2Х-1, (9)
Хя = л(л-(-2Х), «„=.0, ря~л+2Х-1. (10)
III. Формула Род риг а.
2"и • (л + 1)я(1 -х>)Х" Cxn(X)- (- іучгх), Dtt [(1 (Ц)
Co(Jt)=I. С^(х)«=2А*. (12)
Рекуррентная формула:
("+ >>С^1(х)=2(л4-Я)хС^(х)-(л-|-2Х-1)С*_1(л:). (13) Дифференциальное уравнение
(1— х*)у' — (2А ^-1)*у' + л(л + 2А>у=и. (14) 10.9, Ю.9. МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБАУЭРА 177
Формула дифференцирования:
О-JJ 4 (X)---- Cxn (X) + (п + 2Х -1) С\_, (X) =
( ~(п + 2Х)хСкп (X) - (й +1) Схп+1 (х). (IS)
Четность: ' „ ,
CU-*)-(-VnCUx)- (16)
Явные аыраженяя:
л
C«(CosO)= {т\М(п-т)\ «»И»-2») ад, (17)
т=0
ш
V (—1Г (Уп-т (2х)п-im. ,to\
