Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
V. Производящая функция или производящие функции. VI. Интегральные представления.
VII. Теоремы сложения, разложения н ряды и различные результаты. Асимптотические свойства, нули и задачи разложении будут рассмотрены в дальнейших пунктах.
Мы будем пользоваться обозначением
D-h <10>
И положим
W.-1. («)я~= ..(« + «-!),
(И)
Теория классических ортогональных многочленов изложена в работах, упомянутых во введении, а также н книге Magnus, Oberhettinger (1945, гл. V).
10.8. Многочлены Якоби
Мы будем использовать обозначение Cere P^n' ® (х) для соответствующим образом нормированных ортогональных многочленов, отвечающих значенням
а — 1, 6-1, w(*)-(l— х)а(I+Jt)P, X=I-(1)
Для того чтобы вес был неотрицателен и интегрируем, потребуем, чтобы выполнялось условие
а > — 1, ? > -1. (2)
Многие из формальных соотношений остаются справедливыми и беа этих ограничений. jo.«] \ юл. многочлены якоби 171
I. Стандартизация.
,*i»(l>_(«+«)_jSdL]k. (3)
II. Постоянные.
(2л + a + f> + 1) л! Г (л + а + ? + 1) hn - 2е+?+1 Г (я + а + 1) Г (л + ? + 1),
(4)
\ _2-/»/2я + а + [5\ л(а-р)
2(л+1)(л+а + р+1)Л-(2л + а + ^ + 1)(2л+а + р + 2), (6)
2(л+1)(л + а + р+1)(2л+о + Р)Вв-(а»-р»)(2л+а + р + 1)> (7) (л+1)(л + а + р+1)(2л + а +Р)Ся = (л+а)(л + р)(2л + а + 1і + 2), (8)
Кл-(_2)ял!, Я,я =¦ л (л -f- а + ? +1). (9) (2л +а + Р) р„ - 2 (л + а) (л+ р).
III. Формула Ргдрпга.
2"л! Pfr ® (х) = (-1)" (1 - х) ~а (1 + х)~3 Dn [(1 - x)a+n (1 -f- х)6+л]. (10)
Рекуррентная формула:
2 (л +1) (л + а + р + 1) (2л+ а + Р) (x) -- (2л + а + J -f- 1) [(2л + а+ f<) (2л + а + р+ 2) х + а2-р2] Pfr 01 (*) --2 (л + а) (л -f- Р) (2л -f-а -f- P +2) Я«1!? (х). (И)
Из (10) получаем явное выражение:
Pfr ?>(я) = 2~"ki( " +°) ( 1?-" (x +1 Г, (12)
/71 «О * ' * '
которое локааывает, что
Pfr ® (— х) = (- 1)" Pfr а> (X). (13)
Дифференциальное уравнение
(1 — а:^) у" -f. Ці — а — (u + JJ + 2) Xj у' + « (я + а + ? -J-1) У = 0. (14)
Формула дифференцирования: (2л + a -H Р) (1 - х») Pifr »» (X) =
- л [(а _ р) _ (2л -H а -H р) xj Pfr » (х) + 2 (я +а) (л + Р) PfrJ? (х). (15)
IV. Гипергеометрические функции. Уравнение (14) можно свести к гипергеометрическому дифференциальному уравнению 2.1 (1). Мноючлены і
172 гл. 10. ортогональные многочлены j [10.8
Якоби—это решения уравнения (14), которые регулярны н принимают значение (3) при х = 1. Из формул п. 2.9 следует, что
+ «+к -Ц^)-
-(-«"(" + ^(-»,.+«-H + k ?+1-, -Ljfi)-
-CtWM-* —* fp)-"CtWM"* —- » + * ЙІ)- «»
Отсюда вытекает формула дифференцирования
Sm Dm = + т = 1, 2,л, (17)
которая находится в соответствии с утверждением 1 п. 10.6.
Из 2.9 (14) вытекает, что функции Qi^ (1> (ж), определяемые равенством
Г (2« + а + р + 2) <?<"-» W_ 2"+"+|3Г(л + а+1)Г(л + р-Ц)
V -Г THT V , (ж—1)» + в + 1(*+1)Р А
Х/^я + І, я + а+1; 2n + a + ^ + 2-tT~ ], (18)
дают второе решение уравнения (14). Они известны как функции Якоби. второго рода Эти функции не являются многочленами, одьако они удовлетворяют юй же рекуррентной формуле (11) и формуле дифференцирования (15), что и многочлены Якоби, за исключением того, что при п — 0 эти соотношения неприменимы для Q; при Re (а -)- ?) >-—п — 1 эти функции обращаются в нуль на бесконечности. Относительно различных преобразований гипергеометрических рядов в (18) и их аналитического продолжения см. п. 2.1.4.
Многочлены Якоби и функции Якоби второго рода связаны многими соотношениями. Из соотношения между различными решениями гипергеометрического уравнения, см. п. 2.9, мы имеем
0<°. ?> tx\ = _ 31 р<а, ?) ^^ -L 2а +P-1 г (tt) Г (" + ? + О v Vn (*>— 2sin(cm) Г (л + а + ?-f 1) *
X(*-lre(Jt+l)-p/?(e + l, -я-а-р; 1-а; "Ц^)- (19)
Имеет место также интегральное соотношение
і
П(а, ?) / V __I_ Г (1—0° (1+03 ыа, ?, t) di .20.
( ) 2(-*-1)а(*+1)Є _J x-t Р" (t)dt' (20)
которое справедливо для всех точек комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [—1, 1]. При этом функция Qjjai^(X) принимает различные значения в зависимости от того, стремится ли точка х к точке | разреза из верхней полуплоскости (?-{-Ю) или из нижней полуплоскости (? — /0). Значения Qj^1 ^ (I ± /0) можно вычислить с помощью формулы (19), положив 10.8] \ ioa многочлены якоби ш
arg(x—1) Ji для Jr=I+ <0 и arg (х—і)== — я для * = |— Д). В частности, \
Q^a-№ + /0) т (I — Ю) =
- - U"* sin (ая) + (1 - і)"« (1 + 0"» Х
Х*(л + 1, —а—?; 1-а, -Цр-), -1<|<1. (21) На самом разрезе можно использовать функцию
QLa'(I) = у [ QLa'ш (5 + ''0) + Q^Р) ft - /0) 1, -1 < ^ < 1, (22)
принимающую вещественные значения, если аир вещественные. Из (19) следует, что
Qf w®--такт +
+ cos (ая) yg^+P+;) (1 - о- (1 + 0-РХ
X F (л + 1, -я —a-?; 1-а; -Ц^-), - 1 < I < 1. (23)
Функции Якоби второго рода связаны также с многочленами і
qf Й W = J 0-^(H-^ [/><«¦» (t) _ Pf- Р) (,)] dt, (24) -1
ассоциированными с многочленами Якоби в силу 10.5 (6); именно, равенство (20) можно переписать в виде
Qn'?) W - - 2{х_ц1(х + 1), Є ?' W + <%"•№ <*> PfW- (25)
