Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
w'(X) _ K1 P1(X)-X' ~
w (X) X w
к виду — = — 1 + -J, так что X = х, w = хае~х, и Мы получаем многочлены Лагерра, см. 10.12 (5).
Рассмотрим теперь случай A>Z В этом случае мы можем положить
к , „ Х=Ц(х-аг). (4)
т=\
Предположим сначала, что все корни ат попарно различны. Из формулы (3) имеем
к
w' (х) _ Y__а г
w (х)
T= 1
Отсюда, в силу формулы (1), получаем к
р„(х) = К„1^(х—аг)~а' d"
dxn
T= 1
JJ (х — ат)
п+аг
Но этот многочлен прн п = 2 может иметь вторую степень лишь в случае, когда А = 2 Случай совпадающих множителей в (4) может быть исключен 168 ГЛ. 10. ортогональные многочлены 110.7
с помощью аналогичных рассмотрений, tau что в (4) мы должны иметь к = 2, а, ф аг. Путем линейной замены переменного х можно сделать «і — — 1, аг = 1 и положить
X=I-*2, w(*)=(l — лгУи+*)".
Этот случай приводит к многочленам Якоби, см. 10.8 (10).
Следует отметить, что Хан (Hahn, 1949) существенно обобщил эти
результаты Он заменил дифференциальный оператор более общим
линейным оператором
(0—1).* +а
и показал, что в этом более общем случае каждое нз условий I, II, III, а также каждое из двух других условий определяет одно и то же семейство ортогональных многочленов Классические многочлены являются предельным случаем многочленов Хана, к ним же относятся и многочлены из п. 22—25.
10.7. Общие свойства классических ортогональных многочленов
Многие нажные свойства классических ортогональных многочленов легко следуют нз обобщенной формулы Родрнга 10.6(1) Мы предположим, что в случае многочленов Лагерра а > — 1, а в случае многочленов Якобн а > — 1, P > — 1.
Во всех случаях в 10.6(1) функция w(x) неотрицательна и интегрируема на отрезке fa, 6]. Кроме того, так как все производные функции W (х) Xдо (л — 1)-й включительно обращаются в нуль в точках а и Ь, мы можем л раз проинтегрировать по частям выражение
ь
(/. Pn) = К?1 J / (*> -J^n W Хп\ **•
а
Это приводит к ^
(/, Pa) - (-1)" К-1 f Zw (X) W (X) Xя dx. а
Поэтому, если / является многочленом степени меньшей л, то (/, р„) И» 0. Иными словами, многочлены 10.6(1) образуют ортогональную систему на-отрезке \а, b] относительно веса w (х), а потому все результаты предыдущих пунктов справедливы для этих функций. В частности, мы имеем рекуррентную формулу 10.3(7) с обозначениями 10.3(8), которую мы еще используем в этом пункте.
При выводе нз 10.6 (1) дифференциального уравнения мы будем писать D вместо . Из 10.6 (1) и формулы Лейбница для дифференцирования про-иаиедеиия имеем Da+1 [XD (wXn)\ -
- Kn [A D* (Vipa)Mn +DX'D (wpn) + J (л +1) X'wp^. IftTl HlT. СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ KSO
С другой стороны, используя 10.6 (3), получаем
Da+1 IX D (»*")] - Dn+l {[K1A + (»-D X'] wXn) -
-Ka [[K1P1 + (л-1) Х'\ D (wp„) + (п +1) [Zf1P1' +(/.-1)X"] wpn),
так как KiPl -f (я—1) X' является многочленом от х не выше чем пер* вой степени Сравнивая этв два результата, получаем для у ^pn(X) дифференциальное уравнение
где
*„ = -я[м<. + -^(„_l)*'J. (2)
Самосопряженная форма этого дифференциального уравнения имеет вид
Относительно деталей доказательства см. Tricoal (1948а, стр. 210 — 212).
Так как X является многочленом не выше чем второй степени, а P1 (х) — л.ічейньїм многочленом, то дифференциальное уравнение (1) может быть сведено к гипергеометрическому уравнению илн к одному из его частных или предельных случаев.
Для классических многочленов имеем также формулу дифференцирования
х dpAx)_ _(„л+ п_ рп {х) + Рл (*), (4)
где
a„ = я X' (0) - j X'r„, An^n — Cn + (5)
в An, Cn, kn, г„ имеют тот же самый смысл что и в п. 10.3. С помощью равенства 10.3 (7) правая часть формулы (4) может быть выражена через рп и Pn+f
Доказательство формулы (4) у Trlcoml (1948а, стр. 212—215) основано на том факте, что
Хрп(х)-± Х-хРп(х)
является многочленом степени не выше чем п н, следовательно, имеет вид OinPn (X) 4- PnPn-1 (X) + Y2Ai-J (Jf) + ... + YnPe (х).
Коэффициенты аф .... у„ определвются из свойства ортогональности. При вычислении ?„ используется также дифференциальное уравнение (3).
Наконец, заметим, что путем я-кратного интегрирования по частям, как описано в начале главы, получаем ^
*«-(/>«. Pn)-(~ VnW KZ1 f XnW(X)OX. (6) t170 , ГЛ. JO, ортогональные многочлены flU8
Далее, из 10.4 (8), 10.3 (7) р (4) следует, что
—(-*v. я)] 2
' ?" -2
= . (7)
в из (6) что
(- WknKn > о. (8)
Каждый из последующих шести пунктов посвящен одному из основных семейств классических ортогональных многочленов. Каждый из этих шести пунктов строится по следующему плану:
I. Стандартизация многочленов.
II. Вычисление постоянных
ha, kn, rn, An, Bnt Cn, Kn, Xn, ап, ?„, (9)
заданных формулами 10.7 (6), 103 (8), 10.7 (2), 10.7 (5). III. Вывод рекуррентных формул, дифференциальных уравнений и других соотношений. Прн этом мы исключаем слишком громоздкие соотношения, а также те, которые читатель легко может получить, подставляя значения постоянных (9) в общие формулы этого и предыдущих пунктов. , _ IV Связь с функциями гипергеометрнческого типа и полное интегрн-'' рованне дифференциального уравнения
