Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Формулы дифференцирования и интегрирования:
(1 -JC2) Р'л(X) = л [Р„_, (Jf) -JCPn (JC)J = (л + 1) JJf Pn(Jf) - Pn(JC)J. (12)
* Pn(X)- Р'п.г(х) = п Pn (ж), (13)
Р'п+і(х)-хР„(х)~(п+\)Рп(х), (14)
(2л -f-1) J Pn(Jf) dx = Pn+I (X)-Pn^l (х). (15)
В этих формулах Pn(Jf) =—. 10.101 ГОЛО. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 181
Явные выражения, четность, частные значения:
ш
Pn (X) = 2- ^ (-1)-» ( ; ) ( - 2и ) JC--2". (16)
Di = O
Л
Pn (cos Є) = 2 Smgn- т COS [(л - 2т) в), (17)
т = 0
/>„(-*)-(-1)" Pn(X), Pn (± 1)-(±1)" (18)
Pm (0) = (-1Г gm, Рш+і (0) = 0, (19)
Р'2т (0) = 0, Р'2т+1 (0) - (-1)" (2т +1) gm. (20)
Здесь
(М
IV. Гипергеометрические функции. См. также 10.9 (IV).
Pn(X)-F (-«.«+і; i;^) =
- 2"gnx"F (- J, -Ц=^-: JC-8), (22)
Pn (cos в) = F л, л +1; 1; sin» =
- (-1)" F (- л; п +1; 1; cos» , (23)
Pm (X) = (-1Г gm F (-«. «+¦§¦! -*2). (24)
P2т+1 (X) - (-1Г (2т + \)gmxP[—rn, и + -|; -j; Jfi). (25)
і
Лт т+—
-^nrPn(X)-Tr1 т\ЄтСп^(х), л>т. (26)
Информация относительно второго решения дифференциального уравнения Лежандра (11) может быть получена из 10 8 (IV). Этим иторым решением является функция Лежандра второго рода
Qn M = Q?' 01W- (27)
В комплексной лс-плоскостн, разрезанной вдоль отрезка [—1,1], имеем
2-" (2л +1)1 (лі)"2 QnW-
-(*-!)-"-1/^+!, л +1; 2л + 2; —^) =
-(л:+1)-'-1/?(л + 1, л + 1;2л + 2, =
^ (I^L, 1+«; | + Л;х-8). (28) Iffi ГЛ. Ю. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ІІО.Ю
Функция Лежандра второго рода не является многочленом; она удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (9) и тем же самым формулам дифференцирования (12) — (15), что и многочлены Лежандра, за исключением того, что значение п=0 в »тих формулах недопустимо для Q.
0л(-*) = (-1)л+1 Qn(x). (29)
Q0(X)-Iln^ti, Q1 W = Ijcln-J±|—1, (30)
і
Qa W-2-»-1 J(1-^"(Jt-O-"-1 dt, (31)
-1
w "
Qa (X) - J Or + fx^i ch О"""' dt, (32)
V
Qn(ChS)" J V2(Ch^-CfaC)' Re'>ReS> Ітг=ІгаС- Ф) і
Q„W={ J (x-trlPn(t)dt,
(34)
-1
• л+ll
га
Qn(X)-Qo(X)Bn(X)- 2 {2k-l) (я-"* + 1) pn-*^(x). (35) fc= і
Последняя формула эквивалентна частному случаю a= ?=0 формулы 10.8 (25) относительно доказательства в форме (35) см. Гобсон (1952, стр. 56). Бес конечно удаленная точка является для функции Qn (х) нулем кратности п +1 ата функция не имеет других нулей в разрезанной х-плоскости.
Отрезок вещественной оси от —1 до 1 является разрезом ветвления для Qn (JC), при этом
Q„G + fl)-Q„(S-«>)--TtiPn(I), -1<|<1. (36)
На этом разрезе можно определить второе решение уравнения Лежандра формулой
Q„(o-jQ»? + a>) + lQn<!-iO), -KtcL (37)
Мы имеем тогда
і
f (l~f)-lP„(f)dt, — 1 <* < I, (38)
-і
где интеграл понимается как главное значение в смысле Кошн, то есть как / i-p 1\
Uml J + JJ прн е > 0, е-*0. V-I ї+е/ 10.101 10.10. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРЛ 183
V. Производящие функции.
W
S^W^y==^=-Кх<1, \z\<1, (39)
uo
2 -i- Pn (cos в)гп = е* 0J0 (z sln в), (40)
. в)X2"+1 -F (sln|, ф), (41)
»«ort + Tj-
*«tg-J. 0<ф<?, О < в < л.
Первые две формулы являются частными случаями формул 10.9 (29) и 10.9 (30). Последняя формула может быть выведена из (39). Здесь F (А, ф) означает неполный эллиптический интеграл Лежандра первого рода с модулем А. VI. Интегральные представления.
я
Pn (cos 0) = я-1 J (cos 0 -f / sin 0 cos Ф)" d<f — о
я
«* я-1 J" (cos 0 + і sln 0 cos ф)-"-1 dq>, (42)
о
о
cos
[KW
Ря (cos 0) » —— J dy, 0 < 0 < я, (43)
я J у e os ф — cos в
<0+)
J V1-L+,.- <«>
Pn (X) «= (—2)-" (2яі)"1 J (1 — г2)" (г — х)"»"1 dz. (45)
Равенство (44) вытекает из (39), а (45)—из формулы Родрига. Интеграл в (45) называют интегралом Шлефли. Первый и второй интегралы Лапласа в (42) могут быть выведены из (45), если преобразовать контур интегрирования в окружность
+ —я<ф<я,
а интеграл Мелера (43) можно вывести из интеграла Лапласа (Уиттекер и Ватсон, 1963, п. 15.23 и 15.231).
ViI. Различные результаты. Функцию
„ ' - ¦ Pn (со»0) = (-2Г ml gA (він 0)т сГ-+т2 0) (46) 184 ГЛ. «К ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
называю! присоединенной функцией Лежандра первого рода (ем 3.4(1) и 315(4)). Из формулы 10.9(34) вытекает теорема сложения для многочленов Лежандра
Pn (cos O cos ф + sin 0 sin ф cos ф) Pn (cos 0) Pn (cos ф)
л
+ 2 S T <cos o) рп (cos t> cos Щ. (47)
m»l
Отметим также разложение в тригонометрический ряд
UO
P„_,(coee)--|- V J2kla_sIn[(n+2«)0], 11-2,?..., (48)
nnSn /_ і _м
m=0r+2j„
формулы интегрирования 1
(49)
VT=TT 2л + 1 '
J
л
J ^2m(cos0)rf0 = n^, J />2ш+1 (cos 0) cos в d? = Tigm gm + L (50)
'f » «-""(-т)
(Jf) --,, V '', Re Л > -1, (51)
¦ • *(t+TL
г л <-»"(Ы)
XkPim+, (X) dx-- їх . Re А. >-2, (52)
• "+tL,
и билииейиое разложение
¦JO
2я+1
Л-1
S »(я + 0 Р»<*> ^Л О') - 2 In 2 -1 - In 1(1 -*)(! + у)1,
—1<*<у<1. (53)
10.11. Многочлены Чебышева
Часто (особенно в русской и французской литературе) ортогональные многочлевы вообще называют многочленами Чебышеви Имееіся іакм-.е мною частных систем ортогональных многочленов называемых мноючло-иами Чебышева В этой і лаве мы сохраним названия многочленов Чебмшеиа первого и второго рода для соответственно стандаріилірованннх оріою-иальных многочленов, связанных с
