Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтман Г. -> "Высшие трансцендентные функции. Том 2" -> 51

Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.

Бейтман Г. , Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Том 2 — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietransfunkciit21974.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 91 >> Следующая


4

Л—— 1, 6-1, W (X) = (1 —Xх) а, Я — 1— A (1)

Очевидно, что многочлены Чебышева периого рода Tn (х) отличаются лишь посюяниым мкожиіелем от многочленов Якоби ішии, что а — (1 — — -j. 10.11) 10.11. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА 185

и многочлены Чебышева второго рода U„{x) — Oi миогочлеиов Якоби, для

которых а == ? == I. Эти многочлены Якоби являются ультрасферическимв

многочленами (Я»0 для многочленов первого рода и Я=1 для много членов второго рода)

Соотношение ортогональности для миогочлеиои Чебышева первого род<* имеет вид

1

J Tm(X) 7„(лг)у== тфп. -і

Подставим X = cos 0 и заметим, что cos лб является многочленом степени л OT COS0. Мы видим, что Тп(х) отличается лишь постоянным множителем от cos (лб) Таким же образом можно показать, что Un (х) отличается лишь

sin [(л+ 1)6] м

постоянным множителем от- sine стандартизируем иаши мно-

гочлены, положив

7\, (CosG)-cos (л0), Un (cos 8) = t^0 91 • (2)

Многие соотношения, содержащие многочлены Чебышева, являются парафразами хорошо известных тршонометрнческих тождеств. Например, мы имеем соотношение между двумя видами многочленов Чебышева

Tn(x) = Un(x) — xUn., (х), (3)

(1 - X*) ?/„_, (X) =*хТп (X) - Tn+i (х). (4)

Многочлены Чебышева являются ультрасферическими многочленами, для которых Я = 0,1. Из 10.9(23) видно, что Cn (ж) при натуральном Л можно выразить как производную соответствующего порядка от миогочлеиои Чебышева.

I. Стандартизация. Оиа дается формулой (2). Из иее следует, что

TnM = -~(f>n(x) = (gn)-1p{~1' «-1. 2.....

(1 1)

Un (X) = C1n (X) = (2ги+0"1 я„ 2 ' (•*). и*= 0,1..... (6)

где CPn определено формулой 10.9(6) и gn—формулой 10.10(21).

II. Постоянные. Для Tn (х)

A0 = я, An = -^l л—I, 2,..., (I)

An = 2"-1, гп — О, Kn = (-1)" ^nlgn, (8)

An = 2, Bn = 0, Cn-I, (9)

«п-0, ?n-п. (10)

Для Un(X)

К = An = 2», г„=0. Kn=(-l)"2n+1nlga+l, (11)

An = 2, Bn = 0, Cn= 1, (12)

Яи-л(л+2), ап-0, ри-л + 1. (13)

(5) 186 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11

і III. Формулы Родрига.

2« (I)n Tn (X) = (-1)" [(1 _ ^2)"-2] f (14)

Г я+41

(я+1) v7-l • (1S)

Рекуррентная формула (zn(x) является либо Тп{х), либо Un(x)):

Zn+ І (X) — 2х zn (X) — *„_, (х). (16)

Формула Крнстоффеля — Дарбу: п

2' Zm (X) Zm (у) — (х — У)-1 (X) Znk (у) — Zm (X) zm+t (у)], (17)

m=0

где Zn является либо Tm либо Un. В случае Tn первый член (m 0) нашей суммы нало разделить пополам. Дифференциальные уравнения:

(1 —•*)У"— ху' +л2у =0 для у-Tn(х), .(18)

(1-х)у'-Зху' + л(л+2)у-0 для y-Un(x). (19) Формулы дифференцирования (штрих означает дифференцирование Iio х):

(1 -x2) Tn (x) = п [тп_, (x)-X Tn (x)], (20)

(1 — x2) Un (x) = (л + 1> t/„_ j (x) — пх Un (х). (21)

Явные выражения:

[т]

m =0

[41

ГI = V (- 1Г (Я —т)1 >

Un(X)- 2и л»I (л — 2л») I (2Х) '

hi = o

VI. Гипергеометрические функции.

Тп(х) = Р{-П,^\ (24)

У» W = (л+1)^(-л. л+1; 1--f). (25)

Из эТил соотношений и 10.9 (IV) следует

Dm Tn (х) = 2m_l (m — 1)! я (х), п>т, (26)

Dm Un(x)= 2я» т I (х\ п>т, (27)

Г; (x) -IiU^i(X). (28) 10,11) 10.11. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ^fcjr

V. Производящие функции.

OO

1 + 2%7^-J-;;^, (29)

л-1

OO

1 + 2 2 Я-1 Гж(*)*" — —I1и(1— 2xz + z*), (30)

Л = 1

2 Un (X) Zn-(1-2XZ+Z*,-1. (31)

л=0

СО

S SnTa (x)z« = -Lfyi_X2 + kt в-0

00

Я**»™*-•

(32) (33

л=0

Во всех этих пяти формулах

— 1<х<1, |z| < 1.

В последних двух формулах

R— f\—2x z + zK

Равенство (31) является частным случаем равенства 10.9(29), а (30) — предельным случаем этого соотношения. Равенство (29) можно вывести из (30). При эгом R = I и In /?а =«0 при г«=0. Формулы (32) н (33) являются частными случаями 10.9(28).

VI. Интегральные представления. Контурные интегралы, выражающие многочлены Чебышева, могут быть получены с помощью любой из производящих функций.

VII. Различные результаты

2 Tm (X) 7„(Х)~ 1 п+т (X) - Tп_т (X), п>т. (34)

2 (х3 — m-i (х) (/„_! (Jf) — Т п+т (х) — 1 п-т (•*). П > «. (35)

2 7 (X) t/„_, (JC) - С/я+m_, (дг) + t/„_m_, (JC), п>т, (36)

2 Tn (X) Um^l (X)-Un^l (X)-Un_m^(x), п> т, (37)

2[7„ (*)]*« 1 + 2 Г2„(х), 2 Tn (X)Un^ (X) = Uin^l(X), (38)

2 (1 - х») [?/„_, (х)|» - 1 -2 Tsn (X)1 (39) л л—1

2 1Ш (X) - \ +1 u*n (X). Yi t^+1 (х) (*)• (4°)

,,тшО тшО

" ' 2 (1 - х») 2 Utm (X) -1 - Tin+, (X)1 (41)

RisO

П-1

2(1 -X») 2 Ulm^(X)-X-7-м+1(х). (42)

т= U

Bff эти формулы являются парафразам* тригонометрических тождеств. 189 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11

Интеграл Мелера 10.10(43) можно интерпретировать как связь между многочленами Лежандра и Чебышева. Обращая вто соотношение, Трнкоми (Тгісоші, 1935) нашел, что

X

(«+ j) KHM j ^Ш. - Ta (X) + Гя+1 (х),

(n+tyVttjbm-T.n-TnfA.

Vi

л

Из 10.9(21) и 10.9(22) получаем

(43)

(44)

РГ' 2 >&х*-1) = g„U2n(x)t (45)

(Л 1)

хР\ 2' 2'(2x*-l) = gnT2„+l(x). (46)

Наконец, отметим интегралы, понимаемые в смысле главного значения:

І 7Xy (47)

J1 (у—•*) У і — у*
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed