Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
4
Л—— 1, 6-1, W (X) = (1 —Xх) а, Я — 1— A (1)
Очевидно, что многочлены Чебышева периого рода Tn (х) отличаются лишь посюяниым мкожиіелем от многочленов Якоби ішии, что а — (1 — — -j.10.11) 10.11. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА 185
и многочлены Чебышева второго рода U„{x) — Oi миогочлеиов Якоби, для
которых а == ? == I. Эти многочлены Якоби являются ультрасферическимв
многочленами (Я»0 для многочленов первого рода и Я=1 для много членов второго рода)
Соотношение ортогональности для миогочлеиои Чебышева первого род<* имеет вид
1
J Tm(X) 7„(лг)у== тфп. -і
Подставим X = cos 0 и заметим, что cos лб является многочленом степени л OT COS0. Мы видим, что Тп(х) отличается лишь постоянным множителем от cos (лб) Таким же образом можно показать, что Un (х) отличается лишь
sin [(л+ 1)6] м
постоянным множителем от- sine стандартизируем иаши мно-
гочлены, положив
7\, (CosG)-cos (л0), Un (cos 8) = t^0 91 • (2)
Многие соотношения, содержащие многочлены Чебышева, являются парафразами хорошо известных тршонометрнческих тождеств. Например, мы имеем соотношение между двумя видами многочленов Чебышева
Tn(x) = Un(x) — xUn., (х), (3)
(1 - X*) ?/„_, (X) =*хТп (X) - Tn+i (х). (4)
Многочлены Чебышева являются ультрасферическими многочленами, для которых Я = 0,1. Из 10.9(23) видно, что Cn (ж) при натуральном Л можно выразить как производную соответствующего порядка от миогочлеиои Чебышева.
I. Стандартизация. Оиа дается формулой (2). Из иее следует, что
TnM = -~(f>n(x) = (gn)-1p{~1' «-1. 2.....
(1 1)
Un (X) = C1n (X) = (2ги+0"1 я„ 2 ' (•*). и*= 0,1..... (6)
где CPn определено формулой 10.9(6) и gn—формулой 10.10(21).
II. Постоянные. Для Tn (х)
A0 = я, An = -^l л—I, 2,..., (I)
An = 2"-1, гп — О, Kn = (-1)" ^nlgn, (8)
An = 2, Bn = 0, Cn-I, (9)
«п-0, ?n-п. (10)
Для Un(X)
К = An = 2», г„=0. Kn=(-l)"2n+1nlga+l, (11)
An = 2, Bn = 0, Cn= 1, (12)
Яи-л(л+2), ап-0, ри-л + 1. (13)
(5)186 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
і III. Формулы Родрига.
2« (I)n Tn (X) = (-1)" [(1 _ ^2)"-2] f (14)
Г я+41
(я+1) v7-l • (1S)
Рекуррентная формула (zn(x) является либо Тп{х), либо Un(x)):
Zn+ І (X) — 2х zn (X) — *„_, (х). (16)
Формула Крнстоффеля — Дарбу: п
2' Zm (X) Zm (у) — (х — У)-1 (X) Znk (у) — Zm (X) zm+t (у)], (17)
m=0
где Zn является либо Tm либо Un. В случае Tn первый член (m 0) нашей суммы нало разделить пополам. Дифференциальные уравнения:
(1 —•*)У"— ху' +л2у =0 для у-Tn(х), .(18)
(1-х)у'-Зху' + л(л+2)у-0 для y-Un(x). (19) Формулы дифференцирования (штрих означает дифференцирование Iio х):
(1 -x2) Tn (x) = п [тп_, (x)-X Tn (x)], (20)
(1 — x2) Un (x) = (л + 1> t/„_ j (x) — пх Un (х). (21)
Явные выражения:
[т]
m =0
[41
ГI = V (- 1Г (Я —т)1 >
Un(X)- 2и л»I (л — 2л») I (2Х) '
hi = o
VI. Гипергеометрические функции.
Тп(х) = Р{-П,^\ (24)
У» W = (л+1)^(-л. л+1; 1--f). (25)
Из эТил соотношений и 10.9 (IV) следует
Dm Tn (х) = 2m_l (m — 1)! я (х), п>т, (26)
Dm Un(x)= 2я» т I (х\ п>т, (27)
Г; (x) -IiU^i(X). (28)10,11) 10.11. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ^fcjr
V. Производящие функции.
OO
1 + 2%7^-J-;;^, (29)
л-1
OO
1 + 2 2 Я-1 Гж(*)*" — —I1и(1— 2xz + z*), (30)
Л = 1
2 Un (X) Zn-(1-2XZ+Z*,-1. (31)
л=0
СО
S SnTa (x)z« = -Lfyi_X2 + kt в-0
00
Я**»™*-•
(32) (33
л=0
Во всех этих пяти формулах
— 1<х<1, |z| < 1.
В последних двух формулах
R— f\—2x z + zK
Равенство (31) является частным случаем равенства 10.9(29), а (30) — предельным случаем этого соотношения. Равенство (29) можно вывести из (30). При эгом R = I и In /?а =«0 при г«=0. Формулы (32) н (33) являются частными случаями 10.9(28).
VI. Интегральные представления. Контурные интегралы, выражающие многочлены Чебышева, могут быть получены с помощью любой из производящих функций.
VII. Различные результаты
2 Tm (X) 7„(Х)~ 1 п+т (X) - Tп_т (X), п>т. (34)
2 (х3 — m-i (х) (/„_! (Jf) — Т п+т (х) — 1 п-т (•*). П > «. (35)
2 7 (X) t/„_, (JC) - С/я+m_, (дг) + t/„_m_, (JC), п>т, (36)
2 Tn (X) Um^l (X)-Un^l (X)-Un_m^(x), п> т, (37)
2[7„ (*)]*« 1 + 2 Г2„(х), 2 Tn (X)Un^ (X) = Uin^l(X), (38)
2 (1 - х») [?/„_, (х)|» - 1 -2 Tsn (X)1 (39) л л—1
2 1Ш (X) - \ +1 u*n (X). Yi t^+1 (х) (*)• (4°)
,,тшО тшО
" ' 2 (1 - х») 2 Utm (X) -1 - Tin+, (X)1 (41)
RisO
П-1
2(1 -X») 2 Ulm^(X)-X-7-м+1(х). (42)
т= U
Bff эти формулы являются парафразам* тригонометрических тождеств.189 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
Интеграл Мелера 10.10(43) можно интерпретировать как связь между многочленами Лежандра и Чебышева. Обращая вто соотношение, Трнкоми (Тгісоші, 1935) нашел, что
X
(«+ j) KHM j ^Ш. - Ta (X) + Гя+1 (х),
(n+tyVttjbm-T.n-TnfA.
Vi
л
Из 10.9(21) и 10.9(22) получаем
(43)
(44)
РГ' 2 >&х*-1) = g„U2n(x)t (45)
(Л 1)
хР\ 2' 2'(2x*-l) = gnT2„+l(x). (46)
Наконец, отметим интегралы, понимаемые в смысле главного значения:
І 7Xy (47)
J1 (у—•*) У і — у*