Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
л
A = O1I.....п — 1, (6)
v=i
получаемыми, еслн положить /(X) = Xh. Числа Кристоффеля положительвы, и имеют место следующие формулы:
W(x)j"ix) dX =L (х)\ Pf) (7)
І Ра(ху)(х~ху) „J L Pa (jcV)(*-*v) j
kn+ih-n
Xvn =--, n+l "---r—1----(8)
K Pa (*v) Pa+l (jcV) K (xV xv)
Еслн обозначить n нулей функции р„(х) через х,„, хгт Xmb а через
у, „ у2п.....Удя обозначить л чисел на отрезке [е. А], определяемых
формулами
Jn
w (X)dx =Xln+ ... -J-Xva = Avn, (9)
а
то имеюі место теоремы разделения
jcV-I, п < л+1 < -*-v> т 0®)
Уу-Ь и < yv. Л+1 < yv, /». (H)
xv, п < У v. я < -*v+1, т
(12)
Av- I, Л < AV. Л+ I < Av, д. (13) 10-5} 10.8. непрерывные дроби 165
10.5. Непрерывные дроби
Рекуррентная формула 10.3(7) приводит к рассмотрению непрерывной дроби
-1- -, (1)
A9X +B0-
Л.лг + В,-
А$х В% — ...
р
где Л„, Ba, Cn задаются формулами 10.3(8); п-я подходящая дробь -доопределяется как конечная дробь, получающаяся, если мы останавливаемся в (1) на члене A„_tx -(- ?n-i- Таким образом,
R9*0, S9 = 1; S1 «Л*+ B0 = -^ig-. (2)
Pa (X)
Как /?я, так и Sn удовлетворяют рекуррентному соотношению
Хп+1 = (Л* + Bn) Xn - CnXn_,. 0)
Начальные условия:
«ля Rn--X0 = 0 *, = 1; для S„: Jf0 = I X1-&|2L. (4) Принимая во внимание 10.3 (7), видим, что
«¦-f^-fftW (5)
Для того чтобы выразить так же и введем ассоциированный многочлен
0
fcW-J P»{x)xZPtn(t) »«) dt, (6)
а
имеющий степень п—1. Из 10.3(7) следует, что
Яп и W — (л-* + Bn) qn (х) + Cn g„_| <аг) =
ь
= -AnJp„(t)w(t)dt = 0, п-1, % ...
а
Ь
Кроме того, q0 (X) = 0, qt (х) = J k, a (t) dt = ItiC9. а, следовательно,
а
Rn — (Vo)-1 feW. (7)
?
Мы видим, таким образом, что является рациональной функцией
OT X1 имеющей простые полюсы При X = ATvn. Вычеты в этих полюсах могут быть вычислены с помощью формулы
ь
Ilm ^^-пт-!^.»«-!. 166 гл. 10. ортогональные многочлены (104
см. 10.4(7) Мы получаем, таким образом, следующее разложение на элементарные дроби:
я
Rn в ftp V* Хул /{Л
Sn IilC0JUx-Xvn'
V = 1
Разложим правую часть »того соотношения в ряд по убывающим степеням х и используем формулу 10.4 (6). Мы получим, что первыми 2п коэффициентами являются моменты Cfl Следовательно, получаем формально
OO
ilm AdAVjl. (9)
«¦*<» Sn »!«о Со**
Марков доказал, что если отрезок [а, 6] конечен и х — любая точка
комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [а, вешес і венной р
ОСИ, ТО llffl -Xs- существует и имеет место формула (9). Кроме того, в этом я
случае
Rn^ *0 f XD (t)
„+со "ST *1С0 J X—t
Ite (10)
(Cere, 1962, п. 3.5). Случай бесконечного промежутка представляет весьма! значительные трудности, которые изучаются в проблеме моментов (Stlel-tjes и Hamburger). Относительно этой теории см. Shobat и Tamarkln (1943),
Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн (1938). »
10.6. Классические многочлены
Особенно часто встречаются и хорошо изучены ортогональные многочлены, соответствующие интервалам и весам, указанным в следующей таблице. Они известны как классические ортогональные многочлены.
Классические ортогональные многочлены ab v> (х) Название
—11 Ii Многочлены Лежандра илн сферические
ч
—1 1 (1-х2) Л Многочлены Гегенбауэра или ультрасферические
—1 1 (1—*)а(1 Многочлены Якоби или Гипергеометрическне
— coco ехр(—Xі) Многочлены Эрмита
О оо хае~* Обобщенные многочлены Лагерра
Все эти многочлены обладают целым рядом общих свойств, наиболее важными из которых являются следующие три*
I. Функции {р'п(х)] образуют ортогональную систему многочленов. И. рп(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида А(х) у'В(х) у' + КУ = 0. где' А (х) и U (X) не зависят от п, a Kn не завмсит от,*: • 10.«] {o.e. классические многочлены (07
III. Имеет место обобщенная формула Родрига
1 dn
где Kn — постоянная н X — многочлен, коэффициенты которого не зависят от п.
Обратно, любое из этих трех свойств характеризует классические ортогональные многочлены в том смысле, что любая система ортогональных многочленов, обладающая одним из этих трех свойств, может быть приведена к классической системе Дія I это доказали Hahn (1935) и Krall (1936), для I! Bochner (1939) (в этом случае встречаются некоторые тривиальные исключения) и для Ш Trlcotnl (1948а). Мы укажем кратко рассуждения в этом последнем случае.
Пусть [рп (.*)} — последовательность многочленов, причем рп (х) является многочленом, степень которого в точности равна п, равенство (1) справедливо для всех п, и=0, 1, 2.....и степень многочлена X равна k Заметим,
что нет необходимости предполагать, что многочлены рп (х) ортогональны или чю w {х) является весом. ГІрн л=1 из равенства (1) получаем
w'
Положим сначала A = O. Тогда X является постоянным и — является
w ¦
линейной функцией от х. С помощью линейной замены независимого пере-
w' „
менного можно сделать так, что — = — 2х и, следовательно, да=ехр(—х2).
w
В этом случае рассматриваемые многочлены являются многочленами Эрмита, см. 10.13(7). Далее, пусть A=I. Тогда линейная замена х преобразует
