Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтман Г. -> "Высшие трансцендентные функции. Том 2" -> 52

Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.

Бейтман Г. , Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Том 2 — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietransfunkciit21974.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 91 >> Следующая


1

f ^jlTn(X), «-1,2,..., (48)

J1 (У — •*) г 1 — У

которые являются парафразами тригонометрических интегралов и важны в теории интегральных уравнений, называемых иногда уравнениями профиля крыла.

10.12. Многочлены Лагерра

Многочлены L° (х) являются соответственно стандартизированными ортогональными многочленами, связанными с

в = 0, Ь = со, w (х) = е~хха, X = х, a > — 1. (1)

Вместо L0n(X) часто пишут Ln (х). Эти многочлены были введены Лагер-ром. Многочлены Ln(x) часто называют обобщенными многочленами Лагерра, но мы будем называть их просто многочленами Лагерра. Эквивалентные многочлены были также изучены Сониным (1954, стр. о8).

/_ly»

1. Стандартизация. Мы будем употреблять стандартизацию к„ =¦ •

Иногда используется также стандартизация k„ = (— 1)" и менее часто An-L И. Постоянные.

й1Аи = Г(а + л+1), л I An — (— 1 У»,

nr„ — (л + а), Kn = л!. (2)

(л+1)Л,--1, (л-И) Bn«2л+ а-И. (я+1)С»-«Н О)

Aw-Bf а«- —(л+а). W 10.13) 10.12. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА 189

III. Соотношения.

п I Lan (X) = exx~"Dn (е~х хл+а), (5)

Lg(X) = I, Л?(х) = а+1-х, (6)

ч«-ісі:№ ®

DisO

(п +1) , (X) - (2л + о +1 - х) Lan (X) + (л + о) Lan^l (х) - 0, (8)

л

S T1C +'« 4-1) lM (У) =

яі»0

= r(i."+a+l) \L« W ІУ) - {Х) L« {У)1- (9> ху"+(а+1-х)уЧ»У*=0. У = ??<*). (10)

+ + = z—^x^LKx). (11)

X j-Lan(X)-ULan(X)-(п + а) L%_, (х) -

- (л +1) Lan+, (X) - (л + а +1 - х) Lan (X), (12)

IV. Гипергеометрические функции. Многочлены Лагерра связаны с вырожденными гипергеометрическими функциями гл. 6. Из явного выражения (7) вытекает, что

ад=(Л + а)ф(-".° + 1; 1-а, х). (14)

Отсюда мы имеем равенство

-Lan(X)--LSliW. (15)

согласующееся с утверждением (1) п. 10.6,

jL[Lan(x)-L°n+l(x)] = L°n(x) (16)

и многие другие формулы, вытекающие из соотношений между смежными вырожденными гипергеометрическими функциими.

Общее решение лнфференпиального уравнения Лагерра (10) может быть получено из теории вырожденных гипергеометрнческих фувкцяй. 190 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11

V. Производящие функции.

CT

^Lan(X)Zn-(I-Zra-1MVj^t. }г\<1, (17)

я=0

V Wzn -f , _

Х " (Xz) e>Ja(2\m\ (18)

U Г(л + «+1) B=O

2 L%-n(X)Zn-е~хг(І + zf, \z\< 1, (19)

B=O B-O

^S-). I.KL

(2(?

Функция в правой части равенства (17) является наиболее обычной производяuteft функцией в может быть выведена с помощью равенства (7). Равенство (18) принадлежит Дечу в получается из (17) с помощью преобразования Лапласа. Равенство (19) вытекает вз (7), оно принадлежві Эрдейи. Равенство (20) является бвлинейиой провзводящей функцией и известно как формула Лилле — Хардв (см также Myller-Lebedefl1 1907)

Vl Интегральные представления. Контурные интегралы, выражающее многочлены Лагерра, могут быть очевидным образом получены из формулы Нодрвга (5) в нз любой из производящих функций Кроме того, можно использовать связь (14) с вырожденвымв гипергеомеїрическими функциями (см. п 6.11). Мы отметвм только следующее внтегралы:

а оо п+—

п I Laa (л) => ехх ~ 2 J е~ЧЯ 2 Ja (2 Vtx) dt, (21)

— Г+> — / I-U \* Д-1 .

2яі2° L\ (X) = (- Yfe 2 J e~l (y±y) (1 -*') 2 dz, k =

(22)

Первый из нвх является следствием 6.11 (5) второй принадлежвт Трвкоми.

VII. Различные результаты. Число относящихся сюда результатов громадно. Мвогие из нвх были многократно переоткрыты Мы дэдвм лвшь небольшую выборку вз этвх результатов без указания на то, кому они првнадлежат.

Смежные многочлены. Помимо рекуррентной формулы (8) мы имеем

JC La+1 (X) - (л + а 4-1) Ll (X) - (л +1) I« ч, (х) -

= (n + a)Laa_l(x)-(n-x)Laa(x), (23)

Lan~{ (X) ^ La„(x)~ Lan^(X), (24)

(л + а) V1m -' (х) - ifl + 1) LJi. 4 (X) - (л + 1 - х) Ll (х). ,(25) ?«Ш] 10.12. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА 1§]

Формулы дифференцирования и неопределенные интегралы. Кроме (5) и (12) имеем

D°[x-°-> ехр (-1)] - (-1)"«1 х-«—1 Laa (і) ехр (-1), (26)

Dm [Xа Lan (дг)] = (п -т + a + l)m Xа-"1 La'т (х), (27)

п t Dm [е~хха L% (x)J - (т + п) I е~хха-т (х), (28)

OO

Jt-yLaa <У)Iy = *~х[Lan (x)- Lan_, (x)], (29)

X

X

Г(а + р + л+1) J (x-y)P"V L%(y)dy =

о

= Г (а + n +1) Г (P) Xa^Ll+V(X), Re а > -1, Re P > 0, (30)

X X

J Lm (у) Ln (x-y)dy=J Lm+„ (у) dy -Lm+n(х) - Lm+n+t (х). (31)

о * о

Дальнейшие неопределенные интегралы можно получить из теоремы о преобразовании Лапласа для произведения і Интегралы Лапласа. Мы будем применять обозначение

к *

OO

J?[F<t)\ = Je-ftF (0 dt.

о

Имеем

^[^(0]=^° + "+^!!"^' Re о > 1, Re s > 0, (32)

л! Г (а-И) ЭДН

= г (Р4-1) г (о4-«4-1)5^-^(-/1, р4-і, «4-1, S"1), (33)

ReP >—1, Re s > 0, >

S (2УЧЙ)] = «I kTs-a-n -'e~~L% (A). (34)

Предельные формулы.

= (35)

а

Bm^ Lan = x~~Ja(2 VT). (36)

Выражение через конечные разности. Справедлива формула

я

</ («) » 2 (-1)Я"т ( и ) 7 (° + " ~ 2..... 192 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11

где положено

V(O) = /(«+!)-/(«). AJ+V(O)-Ae(Ay(O))t л-1, 2.... Следовательно, имеет место равенство

Laix) = /-1У г(а + "-И) дя Конечные суммы. Помимо указанных выше, имеем
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed