Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
m =u
2 Lam (X) -1 (X) = дс"1 [(ж - л) La (г) + (« + п) La _t (je)]. (38)
-и
iuw-S(^o-Ve-P)e(39)
Dl =U Я
(40)
т =0
І W L*«-m (У) = <* + У). (41)
m =O
лі La (X)Ll (У) =
-Г(а + л+ 1) 2 [т!Г (о-{-я» + I)]-1 (Jcy)1"Lat2„ (х + у). (42)
т =0
Бесконечные ряды. Произвохящие функции указаны выше ((17)-(20)). Разложения бесселевых функций см. в п. 10.15, а другие примеры бесконечных рядов, содержащих многочлены Лагерра, см. в п. 10.20.
10.13. Многочлены Эрмита
Многочлены Эрмнта являются ортогональными многочленами, связанными с вещественной осью (—оо, оо) и экспоненциальной весовой функцией К сожалению, обозначения, применяемые различными авторами, весьма разнообразны Простейшей формой экспоненциальной весовой функции является ехр(—X2), но для приложений к маїематической статистике
более удобно выбрать exp^— "Tf")- В наиболее важных книгах, посвященных этому вопросу (Курант — Гильберт, Деч, Саисоне, Сеге), использовано ехр(—Jf2). Однако Апиель и Кампе де Ферье, Яике — Эмде — Лёш, Магнус — Оберхетиигер, Полна и Сеге и Трикоми применяют весовую
функпию exp ^—будем пользоваться в этой главе обозначением
Сеге (1962) и рассматривать многочлены Эрмита Нп(х) как соответственно сындаршзироваииые ортогональные многочлены, связанные с
в = —оо, 6 = со, bi(jc) — exp(—jc!), А — 1. (1)
Ортогональные миогочлеиы, связанные с весовой функцией exp ,
будут обозначаться Не, (х). Эти многочлены можно также выразить через функции параболическої о цилиндра (см. 8.2 (9)).10.Ю) 10.13. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 103
I Стандартизация. Мы будем употреблять стандартизацию Kn = (—1)". Оиа совпадает с стандартизацией, применяемой, в частности, в книгах: Курант — Гильберт, Фельдгейм — Хилл и Сеге. Стандартизация Afn = I применялась Дечем, Эрдейи, Саисоие и другими.
Так стандартизированные многочлены Эрмита могут быть выражены, согласно Сеге и Кошмидеру, через многочлены Jlareppa
1
H2m(x) = (-\)m2*mrn\ L~J(J), (2)
1
H2m+l(x)=(-\)m22m+irn\X L1m(J). (3)
Эти выражения показывают, что Hn (х) является нечетной или четной функцией от X, в зависимости от того, нечетно или четно п. Эти формулы аналогичны (точнее, являются предельными случаями) формулам 10,9 (21) и 10.9(22).
IL Постоянные.
Ae = VrS 2"л1, А„ = 2» г„-0, (4)
Kn = (-!)". Aa ш. 2, ?n-0, Ce-2л, (5)
Х„ = 2л, оя-0, Р„ = 2л. (6)
IIL Соотношения»
Hn(X)=^lfex7Dne-* (7)
Ht (X) = 1, H1 (X) — 2х, (8)
ш
Hn(X) = U^ iZ1Z-Cim- <9>
т =0
Здесь j^-J = у или » в зависимости от того, является ли « четным иди нечетным.
"*+« (X) - Ix Hn (jc) + 2л //„_, (x) = О, (Ю)
S" Hm (X) Hm (у) Нп+, (X) Hn (у)-Hn (X) Hnfl (у)
2тт\ Г+}п\(х-у) * 11
m=0 v
у» — 2ху' + 2пу = 0, у = Hn (х), (12)
г* + (2л + 1-.*»)* = 0, г = ехр (- ^jHn(X), (13)
Hn(^x) = (-1)" Нп(х), Н'п(х)^2пНп_х(х), (14)
Hlm (0) «= (~\)т -?!, Нм+1 (0) - (Л (15) >/i7 Г. Вейтмея, А. 8рдейя194 ГЛ 10 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ |ШЗ
IV. Гипергеометрические функции Многочлены Эрмига связаны с функциями параболического цилиндра, которые являются частными случаями вырожденных гипергеометрических функций
Hn (X) = YW ехр Dn (Г2 *) -2« V J, I; , (16) т 1 Him (X) = (-1Г (2т) Іф(-т, (17)
т\Hm+i (X) =» (—iy» (2ni -f 1)12*Ф т, (18)
Общее решение дифференциального уравнения Эрмита (12) или его самосопряженной формы (13) (которая, по-видимому, принадлежит Веберу) может быть получено нз теории функций параболического цилиндра.
V. Производящие функции.
OO
^На(х)^-ец>(2хг-г>),
(19)
я-0
СО
2 (-1)"1 »Ш (*) -тйу = ехр (**) cos (У~2 хг), (20)
IA=O
H (2,7+1)1 "im+t (f)z2m+1 ~ ехр (г2) Sin (V~2Xzl <21>
m=o
I if„.„„M- ЬЯ-* + »* }.
(22)
Равенство (19) является хорошо известной производящей функцией (20) и (21) могут быть выведены из (19), а (22) является формулой Мелера.
VI. Интегральные представления Контурные интегралы получаются обычным образом из равенства (7) или из любой производящей функции. Кроме того, можно использовать связь с функциями параболического цилиндра (см. п. 8.3). Мы имеем, например.
(23)
OO
Hn (X) - Щг J O-V COS^Lrf - JEL) dt.
VII. Различные результаты. См. замечания к 10.12 (VII). Пределы
m-yxjКШ| 10.13. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 19$ Интегралы:
X
{ (У) dy - (0)- е-*Hn^ (х), (26)
о
X
JЯ„(У)*У = [2(/!+!)]-1 [Hn+l (х)-На+1 (0)], (27)
о
OO
J е-*Нгт (ХУ) dy = VZ (*» - 1)т,
-OO OO
j e-?yH2m+l(xy)dy=VZ?!?±^x(x*-\r, (28)
--СО
ео
J в-У'у" Hn (ху) dy - у% п!Pn (х). (29)
— СО
Здесь Pn (jc) — многочлены Лежандра.
Преобразования Гаусса. Формула
OO
-OO
определяет преобразование Гаусса (с параметром и). Мы имеем
(30)
2 2 »I \НП (У)] = (2*)» »I [у»] = (2IynHn (ix). (31)
Связь с многочленами Jlareppа. Помимо формул (2) н (3) мы имеем
п
2 (I) H*k W (у) = (-1 rn\Ln (X1 + у»), (32)
ft = о
GO
/ [Hn (у)]2 cos (V^ ху) dy = VK 2я~ln I Ln (Л (33)
о
Г(л + а+1) J (1-**)° 2 H2n (Vxt) dt = -і
~ (-1)" Vn (2л)! Г («+у) Lan (х), Re« > -і. (34)