Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
ь
(ф,. ф2) г J ф1 (j:) ф, (х) da (jc), (2)
а
где o(jc) — неубывающая функция. Если функция e(jc) абсолютно непрерывна, то (2) сводится к (1), где w (j:) «= а' (х) С другой стороны, если а (лс) является функцией скачков, то есть если она кусочно постоянна и имеет скачки величины Wi в точках jc = Xi, то интеграл (2) сводится к сумме
(фь Фг) = S aWi (*«) Ф2 (jcJ)- (3)
і
которая задает скалярное произведение функций дискретного переменного.
Приведенное выше определение относится к вещественным функциям вещественного переменного, н на протяжении этой главы мы ограничимся лишь этим случаем Если рассматриваемые функции принимают комплексные значения либо если область интегрирования является дугой в комплексной плоскости, отличной от отрезка вещественной оси, то функцию ф2 (х) во всех указанных определениях надо заменить комплексно сопряженным выражением. 10.1!
10.1. системы ортогональных функции
157
За исключением нескольких последних пунктов (где будет использовано определение (3)) мы ограничимся определением (1) и будем предполагать, кроме тот о что функция w (х) почти всюду положительна и интегрируема Следует, однако отметить, что многие из результатов вводных пунктов сохраняют силу и при определении (2), а следовательно, и (3), для скалярного произведения
Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю Семейство функций называют ортогональной системой на отрезке (а, Ь) относительно веса w (х) (или распределения а (х)), если для любых двух различных элементов этого семейства имеем (ф, ф2) = 0. Так как пространство функций с интегрируемым квадратом сепарабельно, то ортогональная система может содержать либо конечное число функций, либо счетное множество элементов Таким образом, любая ортогональная система может быть записана в виде (конечной или бесконечной) последовательности ф0 (X), ф] (X), ... либо более кратко, {ф„ (jc)}, а свойство ортогональности может быть выражено следующим образом.
(?'?) = 0' кфк- (4)
Мы будем предполагать, что ситема {ф„ (*)} не содержит функций, почти всюду равных нулю, то есть что при всех h скалярное произведение (фft, фй) положительно Легко видеть, что функции, принадлежащие любому конечному подмножеству ортогональной системы, линейно независимы, то есть что соотношение вида
сй% <*) + cIljI W+ • • • + ckfk (х) = 0 (5)
может выполняться почти всюду на отрезке [a, b] лишь в случае, когда C0 = C1 = ... — С/г = 0 (Достаточно скалярно умножить обе части равенства на фл (х) при h = 0, 1, ..., k)
Функции {ф„ (jc)} образуют ортонормированную систему, если
если h ф k, если h = k.
(6)
Г 0,
Каждую ортогональную систему можно нормировать, заменив фА(дг) на
(ФА Ф*) 2 % (X)-
Конечную или бесконечную последовательность (л:)} линейно независимых функций можно ортогонализовать относительно скалярного произведения (2), заменяя каждую из функций соответствующей линейной комбинацией Например, мы можем положить рекуррентно
. Фо (¦*) = to (х), Фі (х) = PlO Фо W-Hf1(JC),
фя (*) = Ц/іоФО(.*)-ЬИ/ІІФІ (JC)+ ••• +(?, л-іФл-і(-*)+Фл (х). Если положить
(7)
"----^гй-' m=ai....."-1' <8>
то функции 1ф„ (jc) } обр азу ю'і ортогональную последовательность. 158
гл. 10. ортогональные многочлены
(104
Эту задачу можно решить иначе положив
фя M = Xn0Tjj0 W + A7llIfr1 (Je) + ... + А-лп-ф« (-*),
Im Ф О,
О)
и определив коэффициенты X так, чтобы {<р„ (л:)} обраэоиали ортогональную систему. Одно из таких определений приводит к
Фп to-
(Фо, Фо) (Фв. ^l) • • Ob, Ъп)
(ф|. *о) (+1. Фі) • • СФі. Фл)
(Фв-|. Фо) • М>Я-1. Фя)
Ifo(Jc) ф, (JC) . • фл (X)
rn
Очевидно, что функции {Фп (jc)} образуют ортогональную систему, поскольку функция (10) ортогональна функциям фо (jc), фі (jc).....-ф„_, (jc), а следовательно, функциям фт (jc) при всех т<п. Кроме того, любая ортогональная система вида (9) отличается от {фп (jc)} лишь постоянными множителями. Для того чтобы нормировать систему (9), введем определитель Грама Gn, который является алгебраическим дополнением функции (jc) в выражении (10) для Фпл і (jC) Определитель Qn является в то же время дискриминантом положительно определенной квадратичной формы ь
J 1?офо(X)+ ... + (jc)is w (jc) dx
относительно ?о> •••• Sn и, следовательно, положителен Мы положим также і = 1. Ортонормированиая система вида (9), для которой Xan >0, однозначно определяется формулой
(11)
У Oa-IOn
Далее можно установить следующее интегральное представление: W
¦»(¦*)= [(л-1)4V/i-t (бо. .... b»-i)%i(&o, .... Ь-і. *)Х
X w (Ы ... w (?„_,) ... п = 1, 2, ..
где интеграл является л-кратиым интегралом по параллелепипеду a<\k<b, 0<А<л-1,
и .
Фо(¦*») Фі(*») ... Фя(-*в)
(12)
(xO, • • ч Хп) '
(13)
Фо (•*») Фі(*я) ... фл (,*„) (СМ. Cere, 1962, п. 2.1).
В этой главе мы будем рассматривать системы функций, получаемые ортогонализацией по формулам (9) функций фл (jc) = jc" Таким образом, мы получим последовательность ортогональных многочленов {р„(х)}, л = 0, 1, 2,..., где Pk(x) является многочленом от jc, степень которого в точности равна к, и (рн, pk) = 0 при А, к = 0, 1, 2, ... и А Ф k.
