Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Первые две формулы принадлежат Фельдгейму, последние — Успенскому (1927). 196 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ- (10.18
Конечные суммы. Помимо указанных выше формул справедливы следующие соотношения:
2 (2тія!)-1 [Hm W]2 - (2»+1л!Г1 {[Яя+1(*)]2-Ял (X) Нп+2 (х)}, (35)
Itt =о
ш!п(т, я)
S <—2)ftAI [1)[Пк)нт.к(х)Нп.к(х) = Нт+п(х), (36)
1 (т. я)
2 2^'(Г)(й) "*+«-» M = Н* W «я (*). (37)
т
^{1)Hk(Ylx)нт.к(У~2 у) = /273Wm(х + у), (38)
*=о
min (т. я)
»=0
т '
2 ( 2А ) *> O^ У> =
4=0
= 2"-1(* + У) + Я,« U- у)1. (39)
т. от.
V flI fl^
2< W IfblfimI (Jf|) '*¦
VW+... +<Г (40)
Ч у«;+... +4 F
Равенство (35) принадлежит Демнру (Demlr) и Xcy (Hsu). Последние три формулы являются теоремами сложения и легко могут быть доказаны с помощью производящей функции (19). В равенстве (40) сумма распространена на все неотрицательные пелые значения т,,...,/иг, сумма которых равна п.
Бесконечные ряды. Производящие функции указаны выше ((19)-(22)). Относительно разложений по сферическим функциям Бесселя см. п. 10.15, а относительно других бесконечных рядов, содержащих многочлены Эрмита, см. п 10.20.
10.14. Асимптотическое поведение многочленов Якоби, Гегенбауэра и Лежандра
Поведение многочленов Якобн, когда п~>оо и в то же время определенным образом X -> 1, дается формулой 10.8(41). Соответствующее поведение, когда X->—1, вытекает из 10.8(13), а поведение многочленов Гегенбауэра и Лежандра может быть получено с помощью 10.9(4) и 10.10(3). Поведение многочленов Якоби, когда ?->со, ах стремится определенным образом к единице, дается формулой 10.12(35).
Для изучения вопроса о сходимости бесконечных рядов содержащих многочлены Якоби, и для многих Других целей полезно изучить поведение Ю.МІ 10.14. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ' ПОВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОВИ Щ
многочленов Якобн, когда а, ?, х фиксированы н п->оо. Пример многочлена Чебышева
Tn (cos 9) == cos Я0, X = cos 0,
подсказывает, что это аснмптотйческое поведение будет различным в зависимости от того, лежит ли X на отрезке [— 1, 1] (0 — вещественное) или вне этого отрезка (0 — комплексное). Следует также отдельно рассмотреть концы указанного отрезка. В этом пункте мы полностью опускаем случай, когда X лежит вне отрезка [— 1, 1], отсылая читателя по этому поводу к книге Сеге (1962, гл. VIII). Мы укажем некоторые результаты для промежутка — 1 < X < 1; все оценки, данные в этом пункте, выполняются равномерно на любом отрезке —1-)-е<х<!1 — е (е>0). Мы укажем также некоторые важные результаты для случая, когда х находится в окрестности точек ± 1.
Доказательства приводимых здесь результатов основаны либо на явных выражениях соответствующих многочленов или иа их интегральных представлениях (в случае интегральных представлений часто применяется метод наискорейшего спуска), либо проводятся с помощью производящих функций (метод Дарбу) или с помощью дифференциальных уравнений (метод Лиувилля н его дальнейшие обобщения).
Дарбу доказал (исходя из производящей функции), что
Pn (cos 0)=2^
M-I
Vl 8,
п2.ітг
г-
'•(iL +тМт+ІИ
-+
(2 sin 0) 7 + О (л-Л1~Т), 0 < 8 < я, (1)
где gn определяется равенством 10.10(21).
Подобная формула была получена Стнлтьесом, способ которого позволяет дать оценку остаточного члена
M-I
Pn (Сos 0):
где
' я ^j
n\gm
Ч(" + » + тМт + тН
(2sin0)
[*A<0>Kr.....
(2sln0)
^4 = 2sin0, если sin'8>j,
KtL
M+,
A = |cos9|
-I
если sln20<j 5я
0 < 0 < я, (2)
(3)
так что во всех случаях 1 < А 2.
Если 2 sin 0 > I1 то есть если ^ < б < ^p то в равенствах (1) и (2)
можно перейти к пределу, когда Л1->оо, н получить тем самым сходящиеся тригонометрические разложения многочленов Лежаидра.
8 Г, Бейтмеа, А. Эрдейа 199 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
В окрестности точки X =— 1 имеем формулу Хилба
которая справедлива равиомерио при 0 < в <; я — е (е > 0). Относительно более точной оценки остаточного члена см. Сеге (1962, стр. 203) Относительно разложений многочленов Лежандра в ряды по функциям Бесселя см Szego (1933) Если взять частный случай формулы 10 14 (11) при а = ? => 0 и выразить вырожденную гипергеометрическую функцию в виде ряда по функциям Бесселя с помощью 6.12(6), то получим следующий результат:
Pn(X) = 1 [л(2VT)4- 8ІГ(2VT)4-О(Л-»)]. (6)
где
2 (•* 4- 3) g = (1 — Jf) (2л 4- l)s.
Некоторые из этил результатов могут быть распространены иа многочлены Гегенбауэра, а часть—даже иа многочлены Якоби.
с a (cos 0) —
(X)w (1 - Х)т cos цл-m 4- Я) е - (т + X) л/2] Q ( „"^т) " лі ^0(л—m4-Jl)Mml (2sinB)i+m
ХэЬО, —2..... 0< В < я, (7)
Ckn (cos B)-
M-I
1(2Х4-л)у (I-X)m со» [(я 4- т 4- Я) 6-(«4- Я) л/2] . IT(X)P ?0(т + Х)й+1т1 (?1^ Т
0<Х<1, 0< 0 < я, (8)
Г(л4-2Х) (1 — Х)м А
IV6>I<2 [Г (X)]2 (Af4-X)B+lAfl (2sin6)^' ®
Где А определяется равенством (4),
VS («4P (^P
a, ? —. вещественные. О < O < я. іо.їбі 10.1В. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА 199
Формула типа Хилба для многочленов Якоби была д&нэ SzegO и Rau; см. Сеге (1962, стр. 205). Tricomi (1950а) иолучил разложение
