Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Задание отрезка н весовой функции (или распределения) определяет систему ортогональных многочленов с точностью до произвольного постоянного множителя для каждого рп (jc). Путем выбора этого множителя можно ярнмств систему к одной и» стандартных форм. Чаще всего встречают« 10.? 10.2. проблема аппроксимации 159
следующие три дополнительных ограничения: 1. Функции [ря(х)) образуют ортоиормированную систему, причем коэффициент при хп в Pn ix) положителен. II. Коэффициент при X" в рп (х) принимает предписанное значение, обычно равное единице. 111. Для заданного значения Xt (например, х„ — а) Pn(Xa) имеет заданное значение.
10.2. Проблема аппроксимации
Обозначим через Lw класс функций /(*), для которых (лебеговскив) интеграл
fw(x)l/(X)]'ах,
принимает конечные значения, и пусть {<р„(х)}—ортоиормированная система в L2w. Мы будем рассматривать приближение функций f(x) из L2w с помощью линейных комбинаций
Wo(Jf)+ ••• +С/іф/iW-
При этом как меру точности приближения мы используем »
In (Cft) =JwWl/ (*) - СоФо (X) - ... — СлФ„ (х)]4 dx. (1)
а
Легко показать, что наилучшим иозможным выбором коэффициентов с* являются коэффициенты Фурье
«*-(/.»»)• <2>
В самом деле, разлагая [...]* в выражении (1), мы получаем
Ь п п М«*)- Jv (X)V (X)Ydx
a a=o a=o
Ь п п
- J»(X) I/(X)]'ах-SS(?-?)'
a A=O A=O
Отсюда видно, что наилучшим приближением является (л+1)-я частичная сумма (обобщенного) ряда Фурье
ЯоФо (*) + <*!<Pl (*) + ... (3)
функции /(х) и что мерой точности приближения яиляется
ь П
in (*а) - / W W I/ (*)]» ах - 2 4- (4)
в a=o їео гл. 10. ортогональные многочлены [10.3
Так как In (ад) > 0, то мы получаем отсюда, что ряд ^ а\ сходится, причем выполняется неравенство Бесселя
оо Ъ
E 4</n>(x)\f(x)]*dx. (5)
a=o а
Может случиться, что для любой функции f(x) из справедлива формула Парсееаля
во Ъ
2 4= f w(x)\f (X)]* dx. (6)
A-O а
Тогда ортонормированную систему {<ря (.*)} называют замкнутой в I?v В этом случае имеем, очевидно,
U I*
fw(x) f(X)-^ahVh(X)
A=I
tfjr-^О, когда H-* со, (T)
то есть частичные суммы ряда Фурье (3) сходятся в среднем к f(x).
В пространстве Lw каждая замкнутая ортогональная система является полной: если (/, (pft) = 0 для всех ft, то функция / (Jf) почти всюду равна нулю. Это является следствием теоремы Рисса — Фишера (см., например, Качмаж н Штейнгауз, 1958 или Tricomi, 1948, п. 3.3)
Для конечного отрезка [а, Ь] каждая функция из пространства L1w может быть с любой степенью точности приближена в среднем непрерывной функцией, а в силу теоремы Вейершірасса непрерывную функцию можно аппроксимировать многочленом. Таким образом, если [а. Ь] — конечный отрезок н л|>„ (jt) = хп или cp„ (Jf) = рп (Jf)1 то мы можем сделать In (а/,) сколь угодно малым, выбирая п достаточно большим. Другими словами, любая система ортогональных многочленов на конечном отрезке замкнута. Это утверждение, вообще говоря, перестает быть верным для бесконечного промежутка (а, Ь) (Сеге, 1962, п. 3.1).
10.3. Общие свойства ортогональных многочленов
Весовая функция да (Jf) иа отрезке [а, однозначно определяет систему ортогональных многочленов {рп(х)\ с точностью до постоянного множители для каждого многочлена. Числа
ъ
с„- fw(x)x»dx (1)
а
являются моментами весовой функции, и при Ф„ (JC) — Xn имеем
(Фя». Фв) — С/п+в- 0) (олі
юл. общие свойства ортогональных многочленов
161
В обозначении п. 10.1 имеем: ct C1 ... с„ Pi с» ••• «л+«
O1
Cn с*+1
См
"Fn -
*0 xI
1
У
л
-JJ (Xr-Xs).
(3)
r> s
Если обозначить (неопределенный) коэффициент при Xn 8 р„ (х) через Ь„, то
C0 Cl ... Cn С1 Cj ... Ca+1 Pn(X)-TT3-.........., (4)
Ga-,
(Я)
Ce-I 1
«1» л;
«М-1
х»
/>„ <*> - liifer J П а' ~ ^s II -ы*^vi-
r>S V=I
Так как функции 1, х, ..je"-1 ортогональны р„ (л), то
(5)
Qn
k„ = (p„'p„)=° ^gjlT- (6)
J Л—I
Для нормированных многочленов коэффициент k„ имеет ВИД k„ = ,
но мы не будем на этом этапе стандартизировать наши многочлены.
Любой многочлен степени т < п является линейной комбинацией многочленов Pa (х), P1 (х),..., рт(х) и, следовательно, ортогонален к рп (х). Это приводит к простому доказательству следующей теоремы о нулях ортогональных многочленов: все нули ра(х) являются простыми и расположены внутри отрезка [a, ft]. В самом деле, если ра(х) меняет знак на отрезке [а, Ь\ лишь в т <п точках, то мы можем построить многочлен ят (х) такой, что рп (je) Zim (х) > 0 иа отрезке \а, b\. Но это противоречит тому, что (рп, ят) = 0. Можно показать также, что между двумя последовательными нулями функции рп (х) расположен в точности •Один нуль функции рп+\(х) и по крайней мере один нуль рт(х), для которого т > п (Сеге, 1962, п. 3.3).
Любые три последовательных многочлена связаны линейным соотношением Мы будем использовать следующие обозначения: k„ — коэффициент при хп, a k'n — коэффициент при
H
Xа-1 В Pa(X); г„ = -
kH
А„ = (/>„, р„) Мы покажем, что имеет место рекуррентная формула
