Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Pa+i (X) =» (Апх -j- Ba) рп (jf) — CnPfi _ і (jr), п — 1, 2, 3, ..., (7)
где
Aa-Cn
Я + 1
k„
Ba
-Agha
An-I Аа-1
1 An (Гn+i — Гл), k«hn-\
(8)
6 Г. Вейтнм. А. 9цчЛш 162 гл. 10. ортогональные многочлены (104
Для того чтобы доказать формулу (7), заметим, что при значении (8) для An выражение рп+t(x)— Апх рп(х) является многочленом, степень которого равна или меньше чем п, и, следовательно, этот многочлен имеет вид
Yo Л» (*) +Yi ••• + Yn/><>(*)•
Из ортогональности семейства рп (х) получаем, что Ys = Ya =»...=» \„ =» 0, и потому
— An (р„, XpnLl) = Yi (Рп-1. Pn-O-
Но xpn_t(x)—^nT1 Pn (х) является многочленом, степень которого не
превосходит п — 1, и, следовательно,
?
— AA-t=1-— YiAn-i.
кп
или Yi = Cn. Наконец, сравнивая коэффициенты при Xn в обеих частях равенства (7), получаем значения для Bn. Рекуррентная формула (7) остается справедливой для п = 0, если положить
P^1(X) = O. (9)
Это условие будет применяться на протяжении всей этой главы.
Отметим, что, и обратно, система многочленов, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (7) с положительными An и Cn, образует ортогональную систему.
Из (7) легко получить формулу Кристоффеля— Mарбу
У Av-Vv W Pv (У) = yV (10)
Kn+lnn X У
v=0
и, переходя к пределу, когда у->х, получим я
2 hV 1 [Pv (x)f = J^ [р„ (X) p'n+l (X) - P1n (X) рп+1 <*)]. (11)
V=O
Пусть {рп(х)} — система ортогональных многочленов с весовой функцией w (х), и пусть р (х) — многочлен степени I, неотрицательный на отрезке [a, b] и имеющий простые нули в точках хь хъ ..., Ортогональные многочлены qn (х), соответствующие весовой функции р (л-) W (л-), задаются формулой Кристоффеля
Cn9(x) Qn(X) =
Pn(X) Pn+iW ••• Pn+i(x)
Pn(Xl) />Я+і(*і) ••• Pn + l(Xi) Pn(Xl) Pn+ і (Xt) ... p„ + I (X1)
(V)
в которой Cn являются произвольными постоянными множителями (Сеге, 1962, п. 2.5). Если некоторые из нулей функции р (х) являются кратными, то формулу (12) надо заменить вырожденной. 10.41 ' м.4. механические квадратуры • 163
Ортогональные многочлены обладают некоторыми важными экстремальными свойствами. Первое нз них может быть выведено из результатов, указанных в начале п. 10.2. Оно гласит: интеграл
V f
I я„ (JC) I2 ю (JC) dx, (13)
в котором через пп (х) обозначен любой многочлен степени п со старшим членом х", принимает минимальное значение тогда и только тогда, когда nn(x) = tk~lpn(x), где є — постоянная величина, такая,
что І є I = 1
Второе свойство связано с многочленами
Kn У) = S K1Pm (*) Pm (У). (И)
т = 1
которые определены для комплексных х, у (Зс — комплексно сопряженное х). Отметим, что для конечных значений х0 н а, таких, что х0 < а, многочлены Кп(х0,х) ортогональны относительно веса (Jt — Jf0) w (х) (см. (10) и (11)). Упомянутое экстремальное свойство может быть сформулировано следующим образом (Сеге, 1962, іеорема 3.1.3):
Пусть пп(х) является любым многочленом степени п с комплексными коэффициентами, таким, что интеграл (13) равен единице Для любого фиксированного (возможно, комплексного) значения х0 максимум |я„ (X0) Г2 достигается тогда и только тогда, когда
яп (х) = е- Кп{Ха' х)
V к„ (X0, X0) ' где I е I =* 1. Этот максимум равен Kn (X0, •*<>)•
10.4. Механические квадратуры
Ряд интересных свойств ортогональных многочленов связан с задачами об интерполяции н о механических квадратурах. В этом пункте мы дадим краткое описание некоторых основных результатов и отошлем читателя к книге Сеге (1962, п. 3.4, гл. XIV, XV), где имеется дальнейшая информация.
Пусть Xv х2, ..., хп — л различных точек на отрезке [а, b\, и пусть
пп(х) = (х—X1)(X-X2) ... (х—х„),
Iy (X) = (X-Xv)"1 -52М, V=-I.....п.
(1)
Здесь I4 (х) являются фундаментальными многочленами, связанными с абсциссами Xi, ..., хп в интерполяционной формуле Лагранжа
L(X) = ^f(X4)Iv(X) (2)
V=I
для функции / (х).
Пусть надо вычислить интеграл
fr
J = Jw(X) /(X) dx, (3) 164 гл. 10. ортогональные многочлены (104
причем заданы лишь значения функции /(х) в точках Xv. Для решения этой задачи представляется естественным использовать выражение (2) и принять
Ь ab
J = J ю (X) L (х) dx— ^ / (Xv) J w (X) Iv (X) dx, (4)
a v=l а
sa приближенное значение I Разумеется при произвольных X1, ..., х. равенство I = J выполняется для всех многочленов f (х) степени ^n—1. Однако еслн выбрать в качестве xv п нулей функции рп (х), то есть п нулей ортогонального многочлена степени и связанного с весовой функцией w (х), то равенство I = J будет справедливо уже для всех многочленов / (х), степень которых <2п — 1 Именно, в этом случае f (х) — L (X) является многочленом степени <2п — 1, который обращается в нуль во всех нулях функции рп(х) н, следовательно, имеет вид рп (х) яп_к (х), где яя_|(х)— многочлен степени < п — 1 Тогда ь
I-J=* f w (X) [/(X)-L (x)] dx = (рт яп_0 - 0. а
Принято писать
ь л
J = f w(x) L(x) dx = ^ Kvn / (xv>, (5)
a v=l
где Xvi, называют числами Кристоффеля. Они связаны с моментами функции w(x) соотношениями
