Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторым интегральным представлениям из этого пункта соответствуют разложения в ряды. В простейшем случае формула, соответствующая (1), имеет вид
gl №+у) і vi
-1--^r= Lk W і , (— 2/у). (6)
х + у Vxy~0 -п—g-, о о
Относительно большого числа других рядов и интегралов см. Buchholz (1943, 1947, 1948, 1949). ГЛАВА 9
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
9.1. Введение
Многие функции, встречающиеся в работах по прикладной математике, могут быть выражены черев неполные гамма-функции
X
V (а, х) = J ?-'/°"1 dt, Re а > 0, (1)
о
СО
Г (а, JT) = J ?-?°"1 dt - Г (а) - V (а, *), (2)
X
которые в свою очередь тесно связаны с частным случаем а = 1 вырожденных гипергеометрнческих функций Ф (а, с; х) и T (а, с; х). В силу 6.5 (1), 6.5 (2) и 6.5 (6) мы имеем
у(а, ^«а-^-'ФО, 1 + сц *)»сГ1.*вФ(а, 1+а; — je), (3)
Г (а, х) = Л"* Ч (1, 1 +а; х) = е~х Y (1 —а, 1 —а; х). (4)
При а = 1 вырожденное гипергеометрическое уравнение 6.1 (2) имеет еле» ментарное решение
ехх>~е.
Поэтому частные виды вырожденной гипергеометрнческой функции, кото* рые будут изучены в этой главе, удовлетворяют простому дифференциальному уравнению первого порядка.
Во многих случаях предпочтительнее рассматривать в качестве основной несколько модифицированную функцию
X
- Г(1~+«) ф(1'l+ai х)*~ г (і+ а) ф(а'1+а; ~х)> <*>
поскольку она является однозначной целой функцией как от о, так и от х и вещественна при вещественных значениях а в л;. 9.2.11 9.2. определения и элементарные свойства 139
Через неполные гамма-функции можно выразить следующие функции: интегральную показательную функцию и интегральный логарифм, интегральные синус и косинус, интеграл вероятности, а также интегралы Френеля и обобщения этих функций. Для этих функций существует много различных определений и обозначений. Обозначения, используемые в этой книге, будут введены в пунктах, посвященных соответствующим функциям.
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ 9.2. Определения и элементарные свойства
Неполные гамма-фуикции изучались впервые при вещественных значениях X Лежаидром IiLegendre1 1811, том 1, стр. 339—343 и последующие работы) Значение разложения
Г (a) = Y (а» •*) + Г (а, х) (1)
выло выяснено Примом (Prym, 1877), который, по-видимому, был первым, изучавшим функциональные свойства этих функций (он обозначал их через
p и 0).
Для этих функций применяются различные обозначения. Помимо обозначений, используемых в этой книге, чаще всего применяется в настоящее время используемое в астрофизике и ядерной физике обозначение
OO
En (X) = J* du = Xа- 'Г (1 — п, х).
1
Иногда применяется и обозначение К„(х). Относительно формул в этом обозначении см. Placzek (1946), Le Calne (1948) и Busbrldge (1950).
Результаты теории неполных гамма-фуикций, полученные в XIX веке, изложены в книге: Nielsen (1906а, особенно гл. XV, и 1906b), где приведены также ссылки на литературу. Более современное изложение дано Вемером (Bohmer, 1939).
Принято определять неполные гамма-фуикции с помощью неполных интегралов Эйлера второго рода 9.1 (1) и 9.1 (2). Однако для того, чтобы набежать трудностей, связанных с расходимостью интеграла 9.1 (1) при Re а < 0, мы будем определять неполные гамма-функции равенствами 9.1 (3) и 9.1 (4), в которых функции Xа и Y однозначно определены условиями из гл. 6. В иных обозначениях определение 9.1 (2) было известно Лежандру. В то время как функция у* (и, х) является целой функцией относительно а и х, функция Y («. х) не определена при а = 0, — 1, —2, ... Функция Г (а, х) является целой функцией от а, однако, за исключением случая, когда а — целое число, она является многозначной функцией от х с точкой ветвления х = 0.
Рекуррентные формулы
Y<a+l,*)=.a Y(a, х)-хав~* (2)
Г (а +1,*)=-а Г (а. х) + х?е~* (3)
являются простыми следствиями определений и могут быть выведены из неполного интеграла Эйлера второго рода путем интегрирования по частям. Они могут быть использованы для иного определения рассматриваемых здесь функций. 140 гл. 9. неполные гамма-функции !9.5
Имеют место сходящиеся разложения по возраетающим степеням х
СО OO
, V Ха+п V (— 1)"-*а+Я „v
— .-^nila + n) ' M
(1=0 (1=0
оо'
vi I_h" Ха+п
Г (ai ¦*) == Г (а) ^ д| (а + д) ' ©
я=0
которые справедливы при всех * и а Ф 0, —1, —2, ... Здесь положено
• (Ct0) — 1, (а)я = ^±^=а(а + 1) ... (а + п-1),
П"»I1 2, ...
Справедливы также асвмптотические разложения по убывающим степеням Jt
M-I
Г (а, х)*=ха-хе~х
/И-1 -і
2-^5^-+0( u гл) L (6)
га =o J
. і Зл Зя и <. п
1*1->оо, —< arg Jf Al = I1 2,...,
Y (а, л) = Г (а) — ха~*е
t M-I
лі-l -J
. (7)
т=0 J
(8)
Либо пользуясь степенными рядами, либо непосредственно из определения получаем формулы дифференцирования
ay (а, х) _ dT (а. х) _
dx ~ dx "
-^д-[jc-aY (о, *)] "= (—1)"*-в-ау(а-|-я, х), (9)
на
-^5- [^Y (а. *)] = (-1)" (1 - а), е*у (а - п, х), (10)
/ДО
-J^ Ix-aT (а, *)1 = (-1)" х~а~аТ (а + п, х), (11)
da
