Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Re
V > 0, IargzK-J-.
(4) (6)
(6)
OO
Ov (Z) D_v_, (Z) ~ 2 J J^, tf*) cos (zt - e-zt dt,
. Re 2 > 0, (Rev > —1
Ov СД ) U"^) = Jy ^?) M,
_ Re V < 0, Re г > Ol
1/ А 00
XJLJk 2«»)cos {zt-^fie^dt, O < — Re V < 1, (9)
V+2
(T)
(8)
(10)
Для доказательства ивтегральных представлений (1)—(5) достаточно проверить, что их правые части удовлетворяют дифференциальному уравнению 8 2(1) и принимают нужные начальные значення при * = 0. Равенства (1) и (2) можно вывести также из 65(2), 65(6) н 82(1) В равенстве (6) путь интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы он отделял полюсы функций Г (s) от полюсов двух других гамма-функций в числителе подынтегрального выражения Эта формула является следствием 6.11 (9).
Интегральные представления (7), (8), (9) доказаны Мейером (Meljer, 1935b, 1937а), а (10) доказано Бейли (Bailey, 1937). Здесь Jv и Kv означают функции Бесселя порядка v, см 7 2(2), 7 2(13)
Существует большое число гр\ гих интегральных представлений для функций Dv или чля произведении двух функций параболического цилиндра. Относительно произведений/^ см. Meijer (1934, 1935а. 1838а). Интегральны» 8.3| 8.3. интегральные представления и интегралы 127
представления Dv, содержащие другие вырожденные гипергеометрические функции, были даиы в работе Metjer (1941). Относительно других результатов, связанных с (7), (8), (9), см. также Meljer (1937b).
Интегралы, содержащие функции параболического цн линдра:
в-'Ч'1 D_v (2 Ylu) dt.
OO
I
m2'?'~2V7iГ(Р) /v P. v+P + 1.
ІЇ'Ї' 2 'TTrj (U)
Re? >0, Re > 0,
w p
j *TD_v(t)t*-*<t> (а, с;
Yn Г(2с)г(1-с + а) / і і V \
- V } 1 v\ H*' + ^* + ? + ?*1-'' <12>
Г * Г . + ?+? V 2 2 2 ;
с
2
|1 — <1, Reoft ReV >2Re (c — a),
oo p
J <TD_v (0^-^(* -
Г(2с-1)г(| + ^-с + а)
?+
2
|1— р| <1, Rec>i, Re V > 2 Re (с — а) — 1,
ас /
t4 в'1 Div (*) Уу_, (tz) dt —
? -Цг-УР У
^ 0.(75?=-). „5)
О < Re (і < 1,
г ш а+Цу> ____ -о+ц* , —V
Je 4 Dv(y VT^Ddy =V^e 4X Dv(**y j—і].(Ю)
-OO
RerXXlt 128
гл. 8. функции параболического цилиндра 18.5.1
. ? v_i Xі
J Y^J4(Xy) у ~2е2 D_sv (у) йу - x4~1eTD.tv(X), Re V > - -J., (17)
00 у* jfi
J ^v (У) *"Т rfy - г (V +1)D(х), (18)
f ЗР V
J е"Т t*-1 D4(t) dl - 2~ 2 Г (V) cos
«а р _<u±ul
OO
J l\ (± о D. j
Rev, если выбраны нижние знаки.
OO
J I D„ (Ol» dt = К2я л!, л - О, 1, 2, ... (23)
и
OO
Re V > — 1,
1V (0 А - г" 2 Г (V) COs Ke V > Q1 (19)
ЦИ-У)
(20)
IM-V + 1
г 1 IT
(21)
Здесь Re ц > Re v. если выбраны нижние знаки.
І) T(-v)
В этих формулах F, Ф, J, ф означают гипергеометрические и вырожденные гипергеомегрическне ряды, функции Бесселя первого рода и логарифмическую произвоаную Г-функции.
Равенство (11) следует из b.l 1 (2) и формулы обращения для преобразования Лапласа. В силу 2 1 (26). 2 1 (2) в случае, когда ? v +1 или v « — 2л, п = О, 1, 2.....правая часть равенства (И) сводится к элементарным функциям Относительно доказательств формул (12) и (13) см. Erdfelyi (1936). Более общие формулы этого типа, содержащие JP9 (см. п. 4.1) вместо Ф, были даны Mlira (1946). Доказательство формулы (14) провел Meljer (1938). Для того чтобы докачать (15) достаючію подставить вместо D« иыраже-ние (3) и изменить порядок интегрирования если и стремится к 1, то правая часть (15) стремится к Jtv Формула (16). по существу, совпадает с (15); формулы (17), (18) принадлежат R. S Varma (1936. 1937); Watson (1910) доказал (19), а формулы (20), (21) принадлежат Erdfelyi (1938), при v=n из (21) вытекают формулы (22) и (23) Из формулы (21) следует также, что функции Dn(t). л=*О, 1, 2, оОразуюі орюгональную систему функции на осп (—оо, coj. 8.41
8.4. асимптотические разложения
129
8.4. Асимптотические разложения
Из 8.3(6) находим, что (см. Уиттекер — Ватсон, 1961) для больших значений Iи фиксированного значения v справедливы асимптотические разложения:
Dv (z)=zv*
V- 4
S ,/ z»y» пш о ( 2~j
Oz
2 І-ЛГ-1
Зя
Зя
--j- < arg г <
Dv (г) = zv<?
V^ 4
Я=0 --2")
/2я V-I 7у (2),(2 + г)я , 01 2| 1
я 5я
T<arg zK-j-
D4(z) = zve
-Л «
,? ..(-А"
+ Olz2Tyv"1—
,T у (2).(2 + 2). 0
Г (—v)
,t.-w-i
„=о п1{т)
5я я --3-<argz<—j
где использовано обозначение
(Ct)0=I1 (а)„ =» в (о + 1) ... (я + w — 1). я —1, 2, 3, ...
(1)
(2)
(3
(4)
Поведение Dv(z) при |v|-*oo и любых значениях z, удовлетворяющих неравенству |z|<y^|v|, было полностью изучено в работе: Scliwid (1935). Его результаты основаны на методе Лаигера (Langer, 1932). В качестве частного случая мы получаем следующий результат, который в приведен* ной здесь форме был получен Cherry (1949).
я
Если I z I ограничен и I arg (—то при |v|->oo
(5)
5 Г. Бейтиен. А. ЭрдеВи 130 гл. 8. функции параболического цилиндра 18.5.1
8.5. Выражение различных функций через Dv(X)
8.5.1. Ряды. В частном случае, когда х принимает положительные вещественные значения; из 6.12 (3) следует, что
