Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
[ехТ (а, х)\ = (-1)" (1 — а)в ^T (« — п, х). (12)
Последняя формула справедлива при и== О, 1, 2, ...
Лежандру принадлежит разложение в непрерывную дробь
Г (а, х)--L^L--, (13)
•*Н--І-
1 +
, 2-а
X-
1+...
которое может быть выведено из равенства (3). Другие разложения в непрерывные дроби были получены в работах: Schlomilch (1871) и Tannery (1882). 9.2.11 9.2. определения и элементарные свойства 141
В случае, когда а — натуральное число, вырожденные гнпергеометри-ческие функции Ф (а, с; .г) и 1V (а, с; х) могут быть выражены через неполные гамма-функции согласно формулам
« дп
ф (л + 1, а+1; л:) = -^-^1^-^(0. *)], л = 0, 1, 2, ..., (14)
1 rfl
У(л+1.а+1;*)= д|(1_а)я ^pr UxXn-aF (а, х)], л = 0, 1, 2, ... (15)
Первая формула теряет смысл при отрицательных целых значеннях а; однако если перед тем, как устремить а к такому значению, разделить обе части формулы на Г(а-)-1), то мы получим формулу, имеющую смысл. Вторая формула теряет смысл, если а—натуральное число. 9.2.1. Случай целого значення а. В этом пункте
п
Vl Xm
= л = О, 1, 2..........(16)
гл = 0
является усеченным показательным рядом, a En (х)— интегралом, определенным в п. 9.2. Мы имеем
Y (1 + л, х) = л! [1 - е~*еп (Jf)], (17)
Г (1 + л, х) = nle~xen (х), (18)
Г (1 — л, х) = X1-nEn (х). (19) С помощью повторного интегрирования по частям получаем, что
Г (—л, х) =
п-1
ml
E1 (х)-е~*%(-1)
хт+1
т=0
л = 1, 2, 3, ...
(20)
Функция Y (о. х) не существует при а = —л, но нз 9.1 (5) следует, что
Yt (—л, Jf) = Xя. (21)
Следует отметить, что при натуральных значениях а и целых значениях с вырожденные гипергеометрнческие функции Ф (а, с; х) и *F (а, с; х) могут быть выражены через рассматриваемые здесь функции. При а = 1 -(-л н с = 2, 3, ... это вытекает из равенства (14) Для других целых значений с надо разделить равенство (14) на Г (с -(- 1) и выразить правую часть через y*. после чего устремить с к целому значению Для функции W при а = 1 п и с = 1, 0, —1, —2, ... имеют место формулы (15) и (19) Случай с = 2, 3, ... может быть сведен к разобранному здесь случаю с помощью равенства 6 5 (6).
Еслн а близко к целому значению, то можно получить полезные приближения для неполной гамма-функции путем использования значений ее производных по а при целых значениях а Используя интегральное представление 9.1 (5), получаем, что
ду*(а, х) да
а=о
= —In х~?,(х). (22)
Значения производных при других целых значениях а получаются путем использования рекуррентных соотношений. 142 Гл. 9. НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ !9.5
9.8. Интегральные представления и формулы интегрирования
Основными интегральными представлениями являются неполные инте-грааы Эйлера второго рода 9.1 (1) и 9.1 (2). Первый из них расходится при Re а < 0. Его можно заменить контурным интегралом
(0+)
Y(O1Jt) = -(2/slnяа)"1 je» Г !"«(-e^-'ft, (1)
где вдоль пути интегрирования — я<arg(— и)<я, х произвольное Ф 0 и а не является целым числом. Если выбрать в качестве пути интегрирования окружность — и = cos 0 + і sln 0, — я < 0 < я, то получаем
я
v^ = Siiilib" J ^c0l6cos<00+ (2)
При Re а < 0, Jt < 0 из равенства 6.11(13) может быть получен вещественный интеграл.
Для функции Г (а, х) основными интегральными представлениями являются 9.1 (2) и
п, ч Г e~'t~°
-а
dt. (3)
Последний интеграл получается, если применить к последней функции 1P в 9.1 (4) формулу 6.5 (2). Непрерывная дробь Лежандра 9.2 (13) является следствием формулы (3).
другими интегральными представлениями являются
у(а, х) - j е-' P-2* Ja{2Vrt)dt, Rea > О,
00 a
№
(8)
OrOH--X Г -Jf-Г («,*)" г (1-а) J *~Н 2Ka(2-\nd)dt, Re а < 1,
Г(2 — 2а)Г(O1-U) Г (a, tx)~
OO
-2J '-"'-20[-ГТ2Г Л(I. Г> 4-rhr)+ +T=IT 4M1, J'' 4-а: 7=2f)]a' Rea<1' <?)
Последнее из них принадлежит Trlcoml (1950а). ml м. ряды 143
Некоторыми иа наиболее важных формул интегрирования являются
Re (a -J- ?) > O1 Re S > 0,
" м—(1'0+fc тії)'
I
(7)
(S)
OO
I
ReP >0, Ri(а-J-Р)>0, Res>—-J, t~sf\(а, i2)dt = 21-аГ (2а) S"1* 8 (9)
Rea > —-і, а=?0, Res>0, і
Г(а)*а"р J«-rt<a-?"1Y(P, лг-^)<«-Г(Р)Г(а-Р)у(а, х), (10) о
Re а > Re P > — 1, a? Ф 0.
Вели в формуле (7) ? =¦ 1 или в формуле (8) а = 1, то гипергеометрическая функция сводится к элементарной функции; в формуле (9) D является функцией параболического цилиндра. Следует отметить, что интегралы (3) — (9) были выведены Лапласом. Относительно других интегралов см. Nielsen (1906b, с), Le Caine (1948) и Busbridge (1950).
9.4. Ряды
Степенные ряды и разложения в непрерывные дроби были указаны в и. 9.2. Используя в формуле 9.3 (3) разложение
л=0
получаем разложение по обратным факториалам
со
T(OtX) =е-*ха JJ7^7' Re*>0, (1)
п=0
где
J '-''-'(-0^=(-1)-гjfer J
о о
получаем
. *+ У) - Y (о, х) - ^xXa'1 j #"« (і + du.
о
Из 9.1 (1) получаем 144 гл. 9. неполные гамма-функции !9.5
/ и\0-»
Если I у I < I XI, то можно разложить Il +¦ —I в биномиальный ряд, почленно проинтегрировать и использовать формулу 9.2(17). Таким путем получаем разложение
