Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтман Г. -> "Высшие трансцендентные функции. Том 2" -> 35

Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.

Бейтман Г. , Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Том 2 — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietransfunkciit21974.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 91 >> Следующая


(-YfD2n(X)

2 V

Dyt(X)- . . 2j--т vx -

2(v~1)/2 V (-l)»P2n+l(x) L'l(l —v)/2]^2J 1 _V) * (1)

Эти формулы могут рассматриваться как интерполяционные формулы для функции Dv (je) от v; узлами интерполяции являются неотрицательные четные или нечетные числа. Выражение для Dv (х) Dlt (х) через Dn (Уїх) (и = 0, 1, 2, ...) дал Dhar (1935); Shanker (1939) доказал теорему сложения

п , л і .л f(jc sin < — у cos /)21 Dv (х cos і + у sin 0 = ехр Iі--- X

QO

XSO(tgf)"Dv-«WO„(y)(cosOv' (2)

л=0

которая справедлива, если/,х, у вещественны, причем 0</<~-,Rev>(X Erd61yl (1936) доказал разложение (см. 8.4(4))

^(4)=2"*^

h M1

(3)

где через Rp обозначен остаточный член. Этот ряд обрывается, если 2ц равно половине нечетного числа. Во всех остальных случаях ряд, вообще говоря, расходится, но остаточный член допускает оценку. В частности, если

I arg г I < -j и р велико, то разложение имеет асимптотический характер.

Из разложения 6.12(6) можно вывести разложение Dv(Z) по функциям Бесселя, причем функции Бесселя в этом случае сводятся к элементарным функциям, поскольку их порядок является полуцелым числом. В часть ности, мы имеем

Dv (Z) - . { COS с - 2"6*"? [(і - Щ Sln ; - ; cos е] + ...} -

rVT-xJ

где _

S = Vbur, sjsjl 8.6. выражение различных функции через dyfii 131

и если ? ограничено, то члены, обозначенные многоточиями, имеют порядок и-3.

Задача Штурма—Лиувилля, связанная с уравнением 8.2(12), приводит к некоторым ортогональным системам функций на конечном отрезке (0, х0). Это, по сути дела, функции параболического цилиндра, порядок которых

1 . . я Зя имеет вид /р —(р вещественно), а переменная имеет аргумент — или ——

(см. п. 8.2). Относительно приложений см. Magnus (1941). Относительно задачи Штурма — Лиувилля в общем виде см. гл. X книги Айнса (1941). 8.5.2. Представления в виде интегралов по параметру. Теорема Черри (Cherry, 1949). Если f (х) имеет ограниченное изменение на любом конечном отрезке и если, она абсолютно интегрируема на оси (—оо, оо), то

1 , ~— + (ОО

2 оо

Г e(V+'/.) Ж/2 Г _

- 4ni/ (X) = J 8lnvlt dv J- [Dv (hx) D_v_, (M) +

1 . -OO

-J-Ico

+ Dv (- hx) D_v_, (-lit)] f (t) dt (4)

in In

A = e 4 , A = e~T. (5)

Условие абсолютной интегрируемости / можно заменить на

f(x) = e~ * ^ +[1 + 0(1*1-1)1 (6)

при х~+ ± оо, где а вещественно и больше у и где сь C2 — постоянные

(которые могут быть различны для д:-> + оо и х -> — оо). Условие (6) иужио в некоторых граничных задачах см. (Maenus, 1940). Равенство (4) аналогично формуле обращения для интеграла Фурье. Оно может быть упрощено, если / (л:) является четной или нечетной функцией от X.

Cherry (1949) применил формулу (4) к функции / (х) = Dlx (hx) при X > 0, f(x)saO при X < 0. В формальном смысле (хотя в этом случае условия (4) и (6) не выполняются) формула Эрдейи для выражения плоской волны в параболических цилиндрических координатах является частным случаем теоремы Черри, а именно:

— 21 V2n exp | — -L _ r|S) cos tp — -g- Jr) sin q>J =

где

-J + ioo

J

dv

Sln Vrt

-J- 'ao

tgv~2 Ф

COS-I

Dv (- AS) O-^1(Ai1) +



+-— (hi) Ov (- Atj) I (7)

Sl 132 гл. 8. функции параволического цилиндра 18.6

(см ErdfeIyi, 1941) Здесь h определяется формулой (5), а равенство (7) справедливо для всех вещественных значений ? и т) Для задачи о дифракции плоской волны на полуплоскости Cherry (1949) вывел для отраженной волны формулу

(;сов ^ + nsini)]/)., [а(Л со«-J-CeIn

ШЪ -?-(-AOO-V-, (At1) (8)

(«волна Зоммерфельда»).

Частным случаем равенства 6.15 (15) является выражение цилиндрической волиы через решение уравнения 8.2(1), а именно:

С+too

J



(9)

где —1<с<0, I, т) вещественны, Re/^>0 Другие выражения левой части равенства (9) через интегралы, взятые по параметру функции параболическое цилиндра, могут быть получены из теоремы Черри, см также Magnus (1941) Erdelyi (1941) доказал также следующие формулы, которые мо ут рассматриваться как лииейиые и билинейные континуальные произ-нодящие функции для Dv (см также 6 2 (20)):

е+1со [р+ш+2 t*t

4 „ ^ n I___л ^ п

JL J Dv(*)fvr(-v)dv = * 4 , с<0, Iargfl (10)

С—too

?+/00

Ш j [Dv W Z>_v_, (/у) + (-X) (-/у)14^1?- =

С-loa

= 1 exp [- ^ (*2 4-у2) 4- /-^l, -1<с<0, |arg/|<i. (11)

Vl+t* L4 1+<a 1+*»] 2 '

8.6. Нули и дескриптивные свойства

При любом фиксированном значении v формулы 8 4(1) — 84(3) описывают поведение Dv (г) при больших значениях | г |; если v и z вещественны, то Dv (г) также вещественно, хотя это, казалось бы, противоречит формулам 8 4(2) н 8 4(3) Если v вещественно, то Dyj(Z) имеет [-v —f— 1] вещественных нулей, где [v +1] означает наибольшее натуральное число, которое меньше, чем v + 1, и равно нулю, если такого натурального числа не существует Это выводится обычиым способом из дифференциального уравнения 8 2(1) Если v = «=-0, 1, 2, ., то Dn(Z) имеет ровно п вещественных нулей и не имеет других нулей. Относительно других результатов. t.1\ 8.7. решения гипергеометрического уравнения 133
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed