Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
о
•*>0,
Jn (z) Kv (z) -Jv (z) K11 (z)-
JO
= 4n--J Kv+Ii (2z eh /) sin (ця) —fW-V)' sin (гя)] A, (66)
O
Re*>ft |Re(v+p)|<l, 112 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ (71. 14.1
Ju (*) Yv (г) — Jv (г) K11 (г) =.
oo
-4л-2 sin [(и — v)n] J /(„.,j (2* sh О ' A, ((67)
о
Re г > 0, IRe(V-H)Kl,
OO
Kv (X) Iu (X) - J* Jv4rll Qx Sh t) * dt. (68)
о
3
Re(V-Ji) < -j. Re(v + n)>—1, *>0,
IKv(Jf)P Sin (V«)=. я J 7о sh /) sh (2vl) dt (69)
и
IRe VI < дг > О.
OU
IKv(JC)J2COS(VH)-.-я J K0 (2* sh О ch (2v<) dt. (70)
и
|Rev|<-|, Jt>0,
OO '
'v (X) Kw (JC) -f J11 (Jf) Kv (*) = 2 J (2* sh t) ch [<ц—v) <1 dt, (71)
u
Re (v 4-jjt) >>-»-1, |Re(n — v)| *>ft
OO
Iy (Jf) Kw (Jf) - Ivt (X) Kv (X)-2 J Jv+Il (2x sh t) sh [Ol - V) /1 dt, (72)
O
Re(v + (i)>—1,| Re(M. — v)|<-|, *>ft I11 (X) Kv (Jf) — cos [(V — ц) л I Iv (X) K11 (Jf) -'
OU
= Sin [я ((Л — v)I J IVlt (2x 8bt)e-<4+»'dt, (73)
U
* > 0, I Re (v — n)I < I, Re(v + u)>--g-.
X.
Jv (г) - Yv (г) . _ 4Л-. J К, (2z sh f)e-*« dt. (74)
u
Re*>ft
і ^Kv(Jf) ~ . dM*> ''W dv--KvW~
K0 (2л sh O sh (2v/) d; + cos (vn) |KV (Jf)]s, (75)
J> > 0, I Re VI < -j-. 7.14. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 113
Относительно большинства из этих формул см. Dixon и Ferrai (ІУ30) и Meifcr (1936 стр. 519).
^2'UwM OO-
i-o , , v+|t ^
-UO
- J " "V,p k^ m (v ** + У®—2jtv cos ф ) dv -
—Я
T ~,t v^11
— і Sln(VJt) J ^v'(^У ) ' Kv+a(Vx* + y*+2xyc.b t)dt (77) Dlxor. и Perrar (1983), *>y
A
Л, (*) Kv ?) = J* і* (2 K^ishf)#-«-*><*' dt, (78)
ReV> — -j, Rea-г)>0.
Kv(Z)K4(I)- COs(Vit)J KjvG8h/)*-,s+2,ch'dt. (79)
о
-I<Rev<i. Red^F + ^D2;^.
см также (25) — (27).
Интегралы, содержание функции Струве.
г (HWv-Ifs (JiM
/^v'1 Hv (Z) d! - -LLl-, (80)
r(v-i + l) — 1 < Re ц < 1. Re V > Re — j j,
і* /
J n,l',"«<"r 7 П t П і—TT
г \
. (81)
Re (|i + v) > 0,
Hv (2zt) (/* - 1)"V~ Г" dt - J^L Г (і- - v) |7V (2")p, (82)
г>0. IRevK і.
Относительно дальней ти* интегралов, содержащих функции Струве, см. Mohan (1942) Попои (PAl) 1І4
гл. 7. функции весселя. формулы
7.15. Ряды функций Бесселя
(17.15
Ряды типа Неймана.
= 2V Г (V) 2 (V + п) Cl (Y) /v+e (г).
ВяО
(1)
( * f~yj (ж\ - V Г(р + я)Г(у + 1-р)(р+2я)
R=O
Ьсли V—р — неотрицательное целое число, Sto выражение сводится к конечной сумме. !
ГТ Vi (л' + ? + іл)г(', + т) / П /^(SinO)VД V 1ц 2^ r(v + ^)x
я=0
Г (л + V +1)
XC^2(COSd)J j (г), (3) v+T+2»
H wrUM__4 у (у+1-Ь2л)Г(у+1-Ья)
Jv (г) я » sin vn
B=I J
(б)
X
(6)
/ г \ V-v-n „иду ^
(f) Уц («и) A (?*) - Т(ЯЛ) І (Y + 2m) Jy+3m {г) X
тшО
B =О
/ г Х*-»1-* O11Bv
xS(V + 2m)mr|(YtW) /7'(~W- Y+"1' " + 1' V+*' P2) WW &
JK-O
(Bailey, 1935).
Jf
-g- Jy. (Z COS Ф COS Ф) Jv (Z Sln ф Sln Ф) ш*
ou
- (cos ф cos Ф)11 (sin<p sin Ф)* JJ (— 1)" (jjt -f V 4- Zn -f 1) /,j+v+ubh., (г) X
^????^^. » + , + ¦ + .. v+H MX
X 1-я, P + V + n +1; V +1, (sinФ)2], (8) rjq \ Мб. ряды функций бесселя 115
не явля 192»);
ёи Y не являются отрицательными целыми числами (Ватсон, 1949, стр. 40% ailejr,----
/1=0 2
OP
Г d - Р) /v (*) - г Oi +1) ? W. W
п-а
V ф |л, |л ие является отрицательным целым числом;
/ г Ч v+2n
« (Т^п2Є
Jv [г cos в) Jv (г sin 6) - діг(» + я+І) J*+*n (г)'
(И)
п=0
V не является отрицательным целым числом;
г ......
(12)
_ » (±—)т
V(i+A)*vJv(V7T>i) - J ~Г~ *±(v"m)/4* т (VI).
IticO
__со (± АГ
V(*+A)±vг*(V^Fd- S* * , m(/? 03)
m=О
I А| < Ul,
і Ш—V
<» («V
«PCVI=S- ? Т^Л+Т) (И)
та —оо
I; Tiy__^_v+1(z), de)
flt» —оо
г OO
У - COS (/ТОЙ) - 2 Г (т — V -j-1) yffi_v__L <*>' (16>
да=—оо 2
тш—оо
OO
оо
>V-/*rv/?v (* К*=?5) - S -?" s-v-mKv+m (»), (19) 116' гл. 7. функеии бесселя. формулы jiim
I
- Jv W J-V (Z)+ 2 2 y„+v (г) (z% I (20)
vn
л=1
Jv (2г cos в) = ГУ v (г)1а + 2 ^ ^v (*) v (*)«» (2лЄ), (21)
L т J п=і т~п т+л
Re V >0, -<Є<?,
OO
(/v Wl2 -22(-1)""1 Jv+n (z) Jv-* (*), Re г > 0, (22)
B = 1
°° Аі+л (г) J j (г)
^(22)-^^^(-1)"-.I'2 7 , (23)
У, (ArVT^T=T) = ув (Jt) /0 (X) + 2 К- + <-"1Л (*) In (¦*), (24)
Л=1
У, [л: (< + ')] - IJ0 (X)Ja +2(- !)" Є2" + t~2a) Un (*)]2. (25)
Л=1
Ъег (VЪс) - J0 (X) I0 и + 2 2 (- 1)" hn (х) hn (X). (26)
л=1
_ OO "
be! (/ 2х) - 2 2 (- 1)" -W1 (Jf) hn+x (*)• (27)
л=0
Относительно дальнейших примеров см. BalIey (1935, 235); Wise (1935); Ba-nerjee (1939), Bateman н Rice (1935); Pox (1927), Rice (1944), Rutgers (1942); Nielsen (1904, гл. XIX — XXI).
Теоремы сложение и родственныервды
W = V Z2-^-Zi — 2zZ cos ф н С* (г) — многочлены Гегенбауэра (см. п. 3.15).
Ш- X1'- t21 (w) = (^fy Г (V) ? (v + л) Cl (cos ф) Jv+a (Z)Hytf(Z), (28)
"= V=^O,-1,-2, lfUiz і
OO
<2> (w) = Ju (z) H^ <2> (Z)+2 2 К С) ^n-® (Z) cos (іир), (29)
OO
w-"Jv (w) - (Ifyy Г (V) J] Cv-+ п) Cl (cos ф) Jv+a (z) Jv+n (Z). (ЗО)
л»0
v^O, —1, —2, ...і
