Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Г (а, х) — Г (а, * + у) = Y (а. * + у) — Y (а. •*) —
— ^-rJTe-1 S — «о»*>~"I1 — Су)1. IyKUl. (2)
в=0
полезное для вычисления значений Г (а, х).
Неполная гамма-функция допускает большое число разложений в ряды, многие из которых могут быть получены путем выбора частных значений параметра в разложениях гл 6. Мы укажем лишь часть этих разложений. Следует отметить, что при h S= 0, а — — 1 коэффициенты в 6.12 (7) могут быть выражены через усеченный показательный ряд; 6.12 (6) дает
Y(а, X) = Г (а)?-' *2 ^ 'я (-1)* 2 /я+а(2У~х). (3)
л=О
Если а не является отрицательным целым числом, то полученный ряд быстро сходится при всех X Ф 0. В разложении 6.12(11) коэффициенты могут быть выражены через многочлены Лагерра.
Если х, у — положительные числа, причем х > у, то имеем
со
Г (а, X) Y (а, у) - (ху)а V ^ ?<«> {х) Lf (у). (4)
B=O " +
Предельным случаем этого разложения при у ->0 является
™ Lw(X)
T(a,x) = e-J'xa2j-^-t х>0. (5)
л=0
Эта формула совпадает с частным случаем в = 1 разложения 6.12(3) ^-функции в ряд по многочленам Лагерра.
Относительно других разложений см. Nielsen (1906а, 82 и 83).
9.5. Асимптотические представления
При а-*оо, je = о (Jа I) первый ряд 9.2 (4) является асимптотическим разложением; при х->со и а = о (| Jt |) получаем разложение 9 2(6). Если X и а имеют один и тот же порядок, то разложение может быть получено из 6 13 (17); однако в этом случае нелегко найти общую форму такого разложения или установить условия, при которых оно представляет функцию Y (а, л-), когда и а и х возрастают. Значніельные осложнения возникают в случае, когда х и а +1 почти равны, более точно, если а -> со и Ж = а+1+оПа[).
Трикоми (Tricomi, 1950) провел изучение этого вопроса. Он ввел параметр _
— h- О)
х — а х '
и рассмотрел два случая, соответствующие тому, мало или велико г. e.6i 9.6. нули и дескриптивные , свойства 145
Если z-> О и I arg г I < то ои доказад, что Г(1 +а, х, асимптотически предстаиляется рядом
в-хх1+а 2 1а (а) п1(х_ а)-п-1 (2)
й=0
коэффициенты которого
»I и («)-{¦?¦ и-" (1 +0°] },=0=4Гв) («) (?)
являются некоторыми многочленами степени j^-j по a. Trlcoml (1951) изучил йти многочлены. В частности, имеет место формула
ah,-а,"Ч)].(4>
Если г-*оо (т. е. X и а почти равны), то следует различать два случая, в заиисимости от того, положительно или отрицательно Rea. В последнем случае Trlcoml испольэоиал функцию
Yi (a, ж) - Г (a) *У (а. —х), х > а (5)
Он показал, что если a -j-oo и у ограничено, то
; у (1 + a. a + Vtoy)=* Г (1 + a) [j + JL- Erf (у)+О (^LjJ, (6)
Г (а) у, (1 - а. а + 2 УШу)--я ctg (ая) + 2 VH Erfl (у) + О ^Jj. (7)
При а =п имеем, и частности,
(8)
См. также Furch (1939) и Placzek (1946) (добавлении, которые сделал Blanch).
9.6. Нули н дескриптивные свойства
Результаты, касающиеся нулей при вещественных аил:, могут быть получены из результатов п. 6.16. Оттуда вытекает, что:
I. Если <х>0, то у (а, х) не имеет нулей (за исключением д: = 0).
II. Если 1 — 2л < <х< 2 — 2л, где п — 1, 2, 3, ..., то у (а, х) имеет один отрицательный нуль х' и не имеет положительных нулей.
III. Если — 2л < <х< 1 — 2л, л = 1, 2,..., то у (а, х) имеет один отрицательный нуль х' н один положительный нуль х". Общее поведение этих нулей как функций от а может быть получено из карты рельефа (рнс. 5) для Y*- 146
гл. 9. неполные гамма-функции
!9.5
Приближенные формулы для нулей, справедливые для больших значений а, были получены Tricomi (1950b); он доказал, что
я' —(1-а) [l + }/"Y^ У* (а)+ 0( I а Г1)]. I + *]/*
(1)
ад
2
ж---та Г+Т 'п--+ 011 а I-1 (In І а I )®1. т
Здесь через у* (а) обозначен единственный положительный корень уравнения
Erf (у) = ]/J ctg (ау), (3)
а через т = 0,278463... единственный положительный корень уравнения
1 +* + !п* = 0. (4)
Зафиксируем значение а > 0; тогда у («. х) ПРИ х>0 является монотонно возрастающей функцией от х. Ее значения пробегают полуотрезок
-3-2-/01234 Марта рельефа Зля у '(ос, а)
Рис. 5.
OT нуля до Г (а), когда х пробегает луч (0, оо). Можно показать, что прн фиксированном значении * > 0 функция ^ г(а)^ является монотонно убывающей функцией от а при а > 0. Tricomi (1951) изучил поведение неполных мі 1.7. интегральная показательная функция 147
гамма-функций в других квадрантах вещественной плоскости а, je* Ои нвел новые функции с помощью равенств
Г (а, je) — — а_1г"УО (а, х), а < O1 * > 0, (б)
у, (а, je) - B-W*, (а, х), а > 0, * < 0, (6)
Y*(-a,-x)-T(a+l)e*k(a, х), а>0, *>0, (7)
и доказал, что в области их определения выполняются неравенства д0 dG ^ a dZi ^n dSi ^n
Кроме того, он доказал что | k | < — при a > 1, а также что k, рассматриваемое как функция от х, имеет только один максимум или минимум, если О < a < 1, н два экстремума, если a > 1.
Карта рельефа (рнс. 5) заимствована из работы Трикоми. Она дает линии у* (а, х) = const.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕПОЛНЫХ ГАММА-ФУНКЦИЙ
9.7. Интегральная показательная функция и интегральный логарифм
