Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ertx=^
л=0
оо
Erfl
п=0
(—1)" Jt»-"
п1(2л + 1)
jciw + '
п!(2я + 1) '
Erfc je >
1
2°
M-1 (_мт/і\
V 1 ' 12 /
" ZilJT' * Y (—і)" jc2n+'
Zi TTj ! ..0 I7J11
+ 0(1*1-««-»)
-m=0
Erfl X •
x2m+i
Reje>0, jc-*oo, Al = I1 2,
ГЛІ-1 (1)
^nn- +0( i jc r2«-1)
Lm=O
joo1 jc-*co, al=« 1. 2,...,
00
I
CO
I
CO
1
-a'fi-bt,
dt = a~l exp (^) Erfc , Re a > 0, Erf (at) e-*<dt = s-1 exp (^) Erfc (?),
Erf Vat e~stdt.
|arga|<i-, Res>(?
Van
2sVa + s '
Re s > 0, Re (a + s) > ft
я
ее
I
|arga| Re s > O1
Erfl Лexp (JL) El (- ?,).
Res > O1 Iargal <-j.
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11)
(12)
(13)
(14) м) 9.9. интеграл вероятности 153
I
* І
(15)
ж
-х*
ETitdt = XEriX——-, (16)
j/1+i pTf „
Cr Jf (-1 )пе-х'Нп(х), « = 0,1,2..........(17)
dx"
+ і
где Hn—многочлен Эрмнта (см. гл 10).
Следующий ниже ряд является рядом типа Нильсена:
Erf(KFFy) - Erf ere+SLr % (-1)"193 • • • (2;~1} *{пУ'у)- <18>
2 ух ~ 2-4...(2 п) Xя
IIе 1
ІУІ О-*!-
Имеют место следующие разложения в ряды по функциям Бесселя:
Erf (X) = Yen (-1) X"/ 1 (2дг)
л " Иг
(19)
н=0
Г41
(20)
EriiV*)= Yl
/1-0 *~7
/— 00 Г " 1 Erfl (Vx) - У f ? (-1) ' , M- (2D
л=0
Первое из этих разложений является частным случаем разложения 9.4 (3), а два других проверяются с помощью преобразования Лапласа
Наиболее современной монографией, посвященной интегралам вероятности, является книга: Rosser (1948), где изучается двойной интеграл
(22)
J в-?? dy j dx. пщ> 1,2,...,
как функция комплексных переменных р и г, я также некоторые родственные интегралы. Повторные интегралы от интегралов вероятности были изучены Hartree (1936), который положил
OO
P eric JC= LLr ErfC лг. Iя erfc л = Jin-1Wtcidt. (23)
к
(Здесь / не является мнимой единицей!) 154 ГЛ. 9. частные случаи неполных гамма-функция (9.10
9.10. Интегралы Френеля и обобщения
Интегралами Френеля называют
с (X)=Г _ Vbi J Vt
X
cos t
dt,
S(X)=-.Lr I
V2 it
о
X
' dt.
V2n J t
Вместо них мы будем рассматривать более общие интегралы, которые ввел
Bohmer (1939):
T і Іяа ina
C(jc,a)=j Ia-lCostdt = j е~ 2 2 Г (а, — ix), (1)
X
T і 1яа 1ла
S (JtfO)-J ta~l slntdt =е 2 Г (а, —Ix) --?-*" 2 Г (а, Ix). (2)
X
Эти же функции в иных обозначениях изучал Bateman (1946). Очевидно, что
Ina
Г (a,tx) = в 2 [С (Jt, а) —і S (х, а)]. (3)
Интегралы Френеля выражаются через эти функции следующим образом:
C(X)=Yi J соз('і)л4-?ЬсК)=
X
[In І tn \ Ii* \1
Г4 Erf[е4Гї) + е4 ErfU 4
/2я Vl
(4)
S(Jt)-ZlJ ^^)^=1-7?5^?
[i?L / \ ІП [ IlL M
4 Erf ( * 4 Vxj-e4 Erf [Г 4 J^jj-
p /я
(5)
Приведем список формул, относящихся к рассматриваемым интегралам:
sm „2m+a
et«, a) - Г (a) cos (? - ? ?=?^' (6)
m=0
S (,, a) - Г (a) Sln (^) - ^ (2J+ }){(2m +, +a). (7)
m=0
C (x, a) — — [P (jc) sln д: + Q (л) cos jc], (8)
S (x, a) — jce [P (j:) cos x — Q (x) sln jc], (9) »лоі 9.10. интегралы френеля и обобщения 155
где
П2=0
M
(10)
OW = S + Od*P2m"2).
m=l
Jt-^oo, — я < arg л: < я, Af-1,2,...,
а) гй - S-1F (а) [cos - і (s + 0"e—\ i? - /)"а], (11)
Re S > 0, —l<Rea,
S it, а) dt - S-1T (а) [sin - ^ (s + l)'a + j is - 0"a], 02)
Re«>0, — l<Rea,
(t. а) Л = ?-'Г (a + ft) cos (a+2P)" , (13)
Re? >0. 0 < Re (a + p) < 1, fi~lS(t, a)A«=p-'r(a + P) Slni^tPliL1 (14)
ReP >0, 0 < Re (a + P) > 1,
C(X) = J1 (дг) + У5 (*) + /, W + (15)
TTT
««-/, (*>+/7 (*)+'u (¦*)+ — (їв)
T 7 T
Интегральное представление для
[С (х, a)]* + [S (х, а)]*
вытекает иа 9.3 (б).
Кривая с параметрическими уравнениями
I — С(<, a), t)-S(f,a), *>0, (17)
ври фиксированном о, 0 < о < 1, имеет форму епиралн; ее научал Bohmer
(1939) При a — -j оиа сводится к спирали Корню. Интересно отметить, что
•та спираль имеет простое «натуральное уравнение»
1-І
P = (M) (18)
іде f—радиус крпиэвы в «—длина дуги.
ОС
I
ос
J
OO
I I ГЛАВА 10 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Основной монографией по этому вопросу является книга Cere (1962), на которую мы будем часто ссылаться. Shohat, HlHe и WaIsh (1940) составили систематическую библиографию работ до 1938 года. Хотя эта глава посвящена лишь ортогональным многочленам, во вводном пункте мы рассматриваем более общие ортогональные системы функций. Дальнейшие сведения по этому вопросу читатель может найти в книгах Качмажа и Штейн-гауза (1958), Trlcoml (1948) и VltaIl и Sansone (1946).
10.1. Системы ортогональных функций
Пусть задан отрезок (а, Ь) и на нем неотрицательная весовая функция w (х). Мы можем сопоставить тогда нм скалярное произведение
ь
(<р„ q>j) г J W (JC) Ф, (JC) Фг (JC) dx, (1)
а
которое определено для функций ф таких, что Vwtp имеет интегрируемый квадрат на (а, Ь). Более общее скалярное произведение можно определить с помощью интегрвла Стилтьеса
