Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Основными функциями, рассматриваемыми здесь, являются
OO
B1 (X)--Ei (- jf) - f t-H-1 dt - Г (0, х) - e~xv (1, 1, X), (1)
OQ
P (х) — — J ?-?-1 dt, X > ft
(2)
-X
X
^JY «¦ Ei (Inx)--E1 (-lax). (3)
В формул* (2) интеграл понимается как главное значение в смысле Коши, то есть
(W)
Ilm I I -I- I прн е->0, е>а
В книге Янке — Эмде — Лёш (1964) эта функция обозначается через Ш (х). Мы имеем следующие соотношения между функциями, определенными равенствами (1) н (2):
— Bl(Xexlr) — В*(X) ± ія, X>4. (4) 148
гл. 9. частные случаи неполных гамма-функция
(9.10
¦ ¦ Следующие формулы, а также некоторые другие могут быть получены из формул первой части этой главы путей предельного перехода:
El (-*) - Y + InJ= Y + f (l +... +1)
(5)
Я«1
п=1
где Y — постоянная Эйлера, см. п. 1.7.2,
Et (л) = х~1е~х
Lm=O
|*|->оо, — Щ- < arg д: < Af-l, 2,.
Е?(х) = х-*е*\ УД- + 0(1ХГ") L
[М-1 ^
^ "Fr
т=0
х->со, х>0, M = 1,2,..«,
d"Ed^X) =(-^-4"-!)'*"^"^-. (*). «-I. 2,.
m=o
J.-V-ЕЦ-,)«— -^л^М+Ііф).
Re? > 0, Res > —-j-К этим соотношениям присоединим еще интегралы Раабе
OO
I
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
(И)
Л le°'Et(ax) + e-a*E*(ax)\ а> 0, *>0, (12)
OO
I
^Прг dt = ^eaxEt (ах)-е-^Е'(ах)\, а>O1 *>0, (13) o.8. интегральные синус и косинус 149
которые могут быть непосредственно выведены из (1) и (2), а также
• • • ' ' / • О '
UO
J (6 -И)"1 dt = ebcEt {(a + Ь) с], ReoO1 Д14)
а
OO
Je-jctInl dt ^ X-1E1(X), Re je > 0, (15)
і
OO
J Z0-1E1 (t) dt = а-1 [Г (а, х) -Jif1E1 (je)] Re je > 0, а ф 0. (16)
X
Относительно других интегралов см. Nielsen (1906, в особенности гл. Il и IV), Le Calne (1948), BusbrIdge (1950). Из 9.4 (5) мы получаем
OO
w ат)
(1=0
а из 9.4(2)
OO
Bt(x + y)=El(x) + e-x'2in\(-x)-n-l\\-e-*e„(y)l |y|<|je|. (1») (1*0
Формулы для Il (лг) могут быть выведены из формул для E1 (je). При изучении распространения волн в рассеивающей среде встречаются некоторые обобщешія интегральной показательной функции. Типичным примером является
X _
J B-aU-1 dt, где а = /о8+'2 ¦ о
Относительно этой я родственных функций см. Harvard University (1949b). 9.8. Интегральные синус и косинус
В современных таблицах используются определения-
(1) (2)
* х ~ J ilT" ** ~ Ti |E1 т - Ы tx^
OO X
Є, Г Slnf .. Л , , SiJf= I —J- dt^-^ + six,
X
CiJf=* J dt"\ |E1 (ix) + E1 (- ix^ (3>
со
El (± /jf)=cije±/slje. (4) 150
гл. 9. частные случаи неполных гамма-функция
(9.10
Здесь ± і = exp -^-j. Nielsen (1906) использовал то же самое определение для Sl и писал с! вместо Cl. Некоторые авторы употребляют символы Cl, Sl в несколько ином смысле.
Sl х, а также si х являются целыми функциями от х.
Sl(— х) — Sl(х), si(— х) — — я — six. (5)
Cix является многозначной функцией с логарифмической точкой ветвления при хш*0. Так как
X
Clx = Y + lnx- f 1 ~^ost dt, (6)
ч*
то Сіх — Inx является четной целой функцией от х. В частности, мы имеем
Cl (хе±1я) = Cl X ± ія, х>0. (7)
Следующие формулы, а также многие другие могут быть получены путем непосредственного использования определений или результатов, полученных в этой главе выше:
Slx
, . 41 (-DbJC2"+1 -Tslx" Zk (2л + 1)!(2л + 1)'
л=0
OO
VI (— IVXm Cl * = y + 1п ¦*+ (2я)1 (2л) *
2^=^+0(, х,—)
(8) (9)
8i X mm — COS X
m=0
+
N-I
+ slnx
Cl X COS X
Г у1 ^m 1)1 4- Q (IX |-2jV)
.mmt
ГМ-1
mm 1
— n<axgx<,n, M, l, 2,.... +
(IQ)
+ sin X
2 <=p^+0(|,
.m=0
— я<агйх<я, Л, W = I1 2,...,
ob
I
Cl (*)# = —g-«n(l+s*), Re S > О,
I
e~sltl(t) dt — — Y arctg s, Re s > 0,
(H)
(12) (13) мі м. интеграл вероятности 151
во
j*е-'Ч-1 In(1 + p)dt- [Сі(S)]' + [81 (s)]4, Res>ft (14)
о
со оо
j* sin JC й xdx ж. J cos X Ci x dx = — (15)
OS GO OO '
j* AxZixdx — — 1п2, J (Ax)*dx — j* (Cl x)*dx — ^. (16)
Относительно других интегралов см. Nielsen (1906b, в особенности гл. IV). Применяются также обозначения
X
Shi*»» J sh<-у-« — іSi(Ix), (17)
о
ж
Chi+In* + J — dt-Cl(Ix)--?-. (18)
О
В литературе встречалось обобщение
X
J Sin«4. u = Va2 + i2, (1?
а также векоторые аналогичные обобщения (Harvard University, 1949а).
9.9. Интеграл вероятности Основными функциями этой группы являются
X
Erlx- j dt-I Y (4. *)-** (-J. f: -¦*') =
л"). (1)
CC
Erfcx- I ,-'A.ljs-Erfjt-Ir^. Л«) —у*-"*(-у. Ji*'). (2) ж
X
Erflхж* — /Erf(Ix) — j Sdt^xD (I, 2; дг>), (3)
ж
Itrpm-7їіЕах=1-7їіМх' (4)
(5)
152
гл. 9. частные случаи неполных гамма функций
(9.9
Первые три чаще всего встречаются в математических работах; функция (2) была впервые введена Крампом (Kramp, 1799) в иных обозначениях Функция (4) более удобна для вычислений, а функция (5) часто используется статистиками. Здесь также имеется большое разнообразие в обозначениях.
Все указанные выше функции являются целыми; Erfjc и Erfl лс являются нечетными функциями х Многие из следующих формул либо непосредственно выводятся из определения, либо получаются как частные случаи ранее полученных результатов:
