Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
касающихся веществеввых нулей таких решений уравнения 8.2 (1), которые вещественны на вещественной оси, см Auluck (1941); относительно асимптотических формул для вещественных нулен Dv(x) прн вещественном V см Trlcoml (1947)
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
В следующих двух пунктах приведена лишь малаи часть формул, полученных при решении граинчной задачи для уравнения Ди =Ob координатах параболоида вращения Относящиеся сюда вопросы были весьма подробно изучены Бухгольцем; формулы, приведенные в п 8 7 и 8 8 показывают, какого типа результаты можно найти в работах, на которые сделаны ссылки
8.7. Решения вырожденного гипергеометрического уравнения в некоторых частных случаях
Если в уравнении 8 1 (8) к, р, X являются произвольными комплексными числами, то мы получаем дифференциальное уравнение, эквивалентное вырожденному гипергеометрическому уравнению Если же к н X вещественны, а 2р — целое число, то уравнение 8 1 (8) сводится к уравнению
Л + r. А + (^ _ _ 4т) в _ 0> (1)
где
р = 0, 1, 2, ... (2) и х, ? вещественны. Решениями уравнении (1) являются
rljUft^ rlr^d-O (3>
(относительно обозначений см. п. 6.9). Этн решения связаны соотношениями <я(р+1) In (р+1)
4 M ,(©-« 4 M „(-?), (4)
'1» 2 "" ~2
, / in(p4-1)\ р I exp I лх--^ 1 '
--П—P-V^w , И-®+
pu^Ux+1Я ^P+Щ +-п--р-Ї--W, р(®, (5)
где I обозначает нещестиенное положительное переменное и arg(±i|) = При J оо и фиксированных значениях х, р мы имеем
¦ 2
W р (-«-r'V'»-«^!!+Oft-1M. (7)
у т> 134 гл. 8. функции параболоида вращения цт
Соответствующие выражения для Af-функций в (3) могут быть выведены из (4). (б), (6) и (7). Функции
ІЯ (р+1) ІЯ (JH-I)
« {tt)~t * M (-© (8)
ix, f - -ix, ?
вещественны при вещественных положительных значениях I (если ти P вещественны).
Если р и I фиксированы и т велико, то 6.13(8) приводит к следующим асимптотическим выражениям:
т — 1 51
W , (±/|) = /2# ^'V^t)"X
±<*. у
+ (9)
1 _*L
(±/а=Vi ?t)-4, 2X
Xcos^<T-2KT6-ij[l + 0^], (10)
где т. I вещественны и положительны.
ErdfeIyI (1937) изучил случай, когда |т| и Ig| принимают большие значения такие, что является фиксированным отрицательным числом. Его результат имеет вид
^-/TfIilft(2shP)2J =
X Sln [т (sh 2? +2?) - ^-IJ я] [l + O^LJj, (П)
где т, ?, Ц + у вещественны и положительны.
Для решения некоторых граничных задач используются следующие функции. Пусть (о — фиксированное вещественное положительное числа Тогда существует такая последовательность вещественных чисел т№ л « 1, 2, 3.....что
та<т,<т»... н M -(&)= 0.
'VT
Функция
""я
Yk
* * W W
1V 8.81 ял интегралы и ряды 135
ортогональны на отрезке (0, (а). Для того, чтобы вычислить х„ при фиксированном и для того, чтобы найти нормирующий множитель для функций (12), Buchholz (1943) дал формулу
«О 8 tMi ,«)-
Ix.
lx' T
<4
/
X1
(13)
где т, С вещественны, т > О, С Ф 0, а также аналогичные формулы для частных производных
J- д д*
дх' 7%' дхд?
функции (13).
8.8. Интегралы н ряды, содержащие функции параболоида вращения
Как следствие из 6.15(15) получаем
loa
?t(*+y) —I С ds
-7ТГ - wk I w~*0 2/JC) 0 2iy) (1)
Эта формула дает выражение сферической волны с центром в фокусе параболоида через функции параболоида вращения Формулу (1) впервые доказал Melxner (1933), который также вывел формулу
OB
- Jr [І+T + 'C + t)]r[f+^+iOi-t)]x
-OO
(
хг Il + J-1 (а+т)]г [I+1 (а~т)] х
XM р(х)М (у) dx, (2)
<а+<т,Ia-Ixt p? Re д:>0, Rey >0, р = 0, 1, 2,... 13o гл. 8. функции параболоида вращения (8.8
Интегральные представления для более сложных типов волн, имеющих особенность в фокусе параболоида вращения, были даны н работе: Buchholz (1947). Один нз содержащихся там результатов имеет вид
a+Ico
J-')''1 ("+я)' Г p(,+?+±W-,+? + IW
2л р\р\(п-р)\ J 1 \S+ 2 + 2}1 [-®+2+ 2)Х
О- Ioo
XtF1^ (-2ІХ) W (—2/у) ds, (3)
где
Х>У>0, 0<1 + ?
и где tF2 определяется как
^ = ^2 (-«+/>, n+p+i, -S+-i + f; р+1, р+и l)
(см. 4.1 (1) для определения обобщенного гипергеометрического ряда).
Если л = А то (3) эквивалентно 6.15(15). Надо отметить, что H1 j является элементарноЯ функцией; см. 7.2 (6).
Л+у
" Выражение для сферической волны с центром в произвольной точке через функции параболоида вращения дано в той же работе: Buchholz (1947). Если
R = {[(*i — Уі) — (Jr0 — Уо)]2 + *ХоУо -f 4*,у, — 8 VxayaXtyl cos (ср, — «ps)}'7'.
причем Xa, уд, Jrll у, — вещественные положительные числа H X0 > Xu Уо > У и то ПРИ вещественном о <
IO 00
P=O С+Ioo
er— loo
/Г лі „ (— 2/jt,) Af (—2/y,) W „ (-2i*0) IF p (-^iy0) Ids, (4)
L --T ~S'T *' 2 J
где S0, о = 1 и -бо. р — 0, если р > 0. &8] 8.8. интегралы и ряды 137
Для плоской волны Buchholz (1947) дал смешанное представление, содержащее как ряды, так и интегралы:
exp U (* — у) cos 0 + 2 Y~xy sin o cos ф] =*
°° 2 Л
= -F=^-У \Р Ip COS (JHf) X
уі^іInB Pl Pl
p=o
а+іоо o-Ioo
XM р (—2Іх) M р (-2іу) ds. (5) T T
