Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтман Г. -> "Высшие трансцендентные функции. Том 2" -> 32

Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.

Бейтман Г. , Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Том 2 — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietransfunkciit21974.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 91 >> Следующая


rxj

J0 (W) - J0 (г) J0 (Z) + 2 2 Jn (Z) Jn (Z) COS (Лф), 01)

л«1 7.16) 7.15. РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 117

і

¦ V_v (w) = г (V) ? (-1)" (V + и) q (cos ф)У_„_„ WJv+n (Z),

і

1 -v

' ' ' -Y • - \ і ¦!

ПмО

(32)

V=JfeO, -1. -2, Uet^lc |Z I.

Пусть в1* = (Z - и І <ч>| < I Z f.

UU

Kv (W) 2 (33)

Я(1), (2)(a,)e/v«= 2 Hf-V(Z)Jn(Z)e1"*, (34)

n--OO

OO

#rv(®)*,v*- 2 Kv+л (Z)/„(*)«""». (35)

Л= -OO

OO

/v (•)#'*- 2 (-1)"/у+л(2)/л(»^Лф, (36)

л = —OO

(2* sin Ip yv (? Slnl-) =

OO

- 2V1 (V) 2 (V + л) [*"v yv+B (.г)]2 (cos Ф). v ф О, -1, -2, ..(37)

B=O

OO

У, (2г sln -J-) = [J0 (г)]2 + 2 [У„ (г)]2 cos (лФ) (38)

л=1

или

fVvkfr + r1)] = 2 ^yv-H*) УЛ*). (39)

«= -OO

|*|<1 для V О, ± 1, ± 2,

OO

Ґ Iv Iz (Г1 -Ol= 2 (40)

Д= —оо

I / I < 1 для мфО, ±1, ±2, ехр (± /у г" -f Z» — 2гг cos q>) _

^4-22-cos ф

in

±

У («-f і) У , (z) H^ f (Z) Pn (cos ф), (41)

* *Z ІІЇГ J n+T Л+Т

\ze±l*|< IZі,

(у) Г (2v) = Г (v) Г (1 + v) 2] (v -f я) Г (2v + л) [yv+„ (г)| »/лі (42)

л=0 118

ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ (71. 14.1



1

-я—V

(sin а sin ?)2 J 1 (г sin о sin ?) ^coeecose.

2v-4-2 г

W-1P1 (ум» 2 (г) с"(cos а) с»(С08 Р)- <«>

в-0

COS (г COS(P) -2vr (v) 2 ("П" <v+2n)*-v/?+Je (г)CJ„(cos<р),

в=0

(44)

8іп(гсо$ф) —2?r(v) 2 (-1)" (v+2л +1) *"v /v+2n+i (*) C^1 (cos <p).

л*0

Ряды типа Каптейна.

wt Jv (vx) — sin (vn)



B-I

(45)

(46)

vnEv(vx) = 2(siniff-4* J "^? + ?^ У„(-), (47,

(48)

B = I

! 1 + 2 ^ [Ja (M)]*,

Паї

OO

Vl—Z*

(та-О-М+ЭД'-М']-

* T ' B-O

GO

iTi ™1 - * S(4nS -1)_1 Iу» (n*)J''

Яві

OO

Т^7 = 1+22УЛ(ПЛГ)-

n-l

Ряды Шлемнльха и родственные ни.

OO

riv+l) ^cos(«o(-^r) Vyv(nw)— ~ при О< je<? <я,

(49)

(50)

(51)

/71=1

1nP11 °<'<*<*- (52)

і

»V—5-

Rev>—j (Соокё, 192g), 7.15І 7.15. РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 119 m»l

+-^7-П Ji (53)

yr(|i+l)r(v+ij у і

я > у > jf > о. ц, v > — Y (Сооке, 1928), « j ?+1 Г (v + 4)Scos(®°(j?)"V"1 Hv(mJC)---VT'

Щш I

0<JC<<<ji, ReV> —1 (Cooke, 1930, стр. 58), 0 < / < Jc < я, Re V > — 1 (Сооке, 1930, стр 58),

(54)

*v--2Г (v+ 1) 2 (-1Г (?)~V*"V Jv . (55)

«сі

0 < де< a, v>0,

OO

я Jv (je) — 23-4 V ,„i-v (4т> _ ц-1 Hvgmx)t (56)

ет=1

0<*<я, v> — -j-11-v / V\ / „\l-v

^-'/S-rtrfv " Hv(ах) + я/Г(v + 1)(1) ~\<«*)-

^ j

-2Г (v +1) 2 т («»-а*)"1 Ї1 -(-1)" *,ал1 (-у) (тх), (57)

О < дс < я, v>-j.

Относительно (55)-(57) см Pennel (1932).

Разложения типа Фурье — Бесселя. В последующих формулах V и г произвольны, но v Ф — 1, —2, —3,... Обозначим через ± \v, „ (л = 1, 2, 3, ...) нули функции Z-vJv(Z)t расположенные в порядке возрастания величины Re (yv, л) > 0. Тогда имеют место формулы (Buchholz, 1947)

47^?' Uv (*) У у (**) - Jv (Лж) Yv (z) J -

OO

С*. Yv, л) ^v (jfVv. B)l'v+1 (Yv, n)]~V-< „Г1. (58)

л = 1

0<*<Л<1, 120 ГЛ. 7. функции бесселя. формулы

OO

Jy (XZ) „у V«, я Jy (xyv, я) м

OO

-,j -. 0<*<1.

Hf, Чп\Гу,п-П^+1(Ъ.п)

AttlU*) о- у А>+1 (Уу. я-*)

JO

I In Л - - V Ja (jfyn) Ja (Xyn) |Yny, (у,)Г2,

п» 1

0<дг<Л<1, Yn - Vo. » [Д(г)Г1 - 1 -2 § к 1 + YoTlt] lA(Ъ, /ОГ1.

y.wr»- 1 + 4 2 Ivo (Yo. л)і

[У, (г)Г1 -2f-' + ^ 2 [(^2-Yi, Я)А (Yi, „)Г1,

я»1

,[7, (г)]"» - 4»-« + 1 + 42 [Yb^2-Y?. „Ґ +

ЯШІ

Относительно формул (62) — (65) см Forsylb (1921). ГЛАВА 8

ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА И ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ

8.1. Введение

Пусть Xb хь Xt — декартовы координаты в трехмерном пространстве. Определим параболические цилиндрические координаты g, rj, ? с помощью формул

Xt — ^ Tt* . X3 шт ? (1)

и координаты параболоида вращения rj, ф с помощью формул Пусть

_«з

¦*! — COS Ф. X1- Sri Зіп ф, xt — — 2 * (2)

A JLj- * , д*

dxj + дх* + дх*

—оператор Лапласа, и пусть / — любая функция, зависящая только от Xi. Преобразуя дифференциальное уравнение в частных производных

Ди + /(*3)и-0 (3)

к параболическим цилиндрическим координатам, получаем следующее уравнение:

+ ^ + + (4)

Оио имеет частные решения ввда U (I) V (rj) W (J), где U, V, W удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям

^jg-+W+Ю U-0, +(OTja-X)K-0, (б)

+ [/Ю-a] B7-O (в)

с произвольными постоявиыми о, Л.

Аналогично, если к2 постоянно, то дифференциальное уравнение • частных производных

Ди + Д'и-О, 122 гл. 8. функции параболического цилиндра (8.2

преобразованное к координатам параболоида вращения, имеет вид

Оно обладает частными решениями вида U (I) V (tfl W (<р), где U удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

d*U +г» ^ + (А2|2_4(А2Г2 + Я)?/в0> (8)

dl*

V удовлетворяет уравнению, аналогичному (8), с той лишь разницей, что знак при К изменен, a W удовлетворяет уравнению

d2W

Для того чтобы эти решения были однозначны и непрерывны на параболоидах \ — const Ht]= const, 2(i должно быть целым числом.

В случае, когда пространство имеет более трех измерений, возможны различные обобщения проведенного исследования уравнения (3). Относительно некоторых из ннх см Humbert (1920а, Ь, с, а)
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed