Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
rxj
J0 (W) - J0 (г) J0 (Z) + 2 2 Jn (Z) Jn (Z) COS (Лф), 01)
л«17.16) 7.15. РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 117
і
¦ V_v (w) = г (V) ? (-1)" (V + и) q (cos ф)У_„_„ WJv+n (Z),
і
1 -v
' ' ' -Y • - \ і ¦!
ПмО
(32)
V=JfeO, -1. -2, Uet^lc |Z I.
Пусть в1* = (Z - и І <ч>| < I Z f.
UU
Kv (W) 2 (33)
Я(1), (2)(a,)e/v«= 2 Hf-V(Z)Jn(Z)e1"*, (34)
n--OO
OO
#rv(®)*,v*- 2 Kv+л (Z)/„(*)«""». (35)
Л= -OO
OO
/v (•)#'*- 2 (-1)"/у+л(2)/л(»^Лф, (36)
л = —OO
(2* sin Ip yv (? Slnl-) =
OO
- 2V1 (V) 2 (V + л) [*"v yv+B (.г)]2 (cos Ф). v ф О, -1, -2, ..(37)
B=O
OO
У, (2г sln -J-) = [J0 (г)]2 + 2 [У„ (г)]2 cos (лФ) (38)
л=1
или
fVvkfr + r1)] = 2 ^yv-H*) УЛ*). (39)
«= -OO
|*|<1 для V О, ± 1, ± 2,
OO
Ґ Iv Iz (Г1 -Ol= 2 (40)
Д= —оо
I / I < 1 для мфО, ±1, ±2, ехр (± /у г" -f Z» — 2гг cos q>) _
^4-22-cos ф
in
±
У («-f і) У , (z) H^ f (Z) Pn (cos ф), (41)
* *Z ІІЇГ J n+T Л+Т
\ze±l*|< IZі,
(у) Г (2v) = Г (v) Г (1 + v) 2] (v -f я) Г (2v + л) [yv+„ (г)| »/лі (42)
л=0118
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ (71. 14.1
1
-я—V
(sin а sin ?)2 J 1 (г sin о sin ?) ^coeecose.
2v-4-2 г
W-1P1 (ум» 2 (г) с"(cos а) с»(С08 Р)- <«>
в-0
COS (г COS(P) -2vr (v) 2 ("П" <v+2n)*-v/?+Je (г)CJ„(cos<р),
в=0
(44)
8іп(гсо$ф) —2?r(v) 2 (-1)" (v+2л +1) *"v /v+2n+i (*) C^1 (cos <p).
л*0
Ряды типа Каптейна.
wt Jv (vx) — sin (vn)
B-I
(45)
(46)
vnEv(vx) = 2(siniff-4* J "^? + ?^ У„(-), (47,
(48)
B = I
! 1 + 2 ^ [Ja (M)]*,
Паї
OO
Vl—Z*
(та-О-М+ЭД'-М']-
* T ' B-O
GO
iTi ™1 - * S(4nS -1)_1 Iу» (n*)J''
Яві
OO
Т^7 = 1+22УЛ(ПЛГ)-
n-l
Ряды Шлемнльха и родственные ни.
OO
riv+l) ^cos(«o(-^r) Vyv(nw)— ~ при О< je<? <я,
(49)
(50)
(51)
/71=1
1nP11 °<'<*<*- (52)
і
»V—5-
Rev>—j (Соокё, 192g),7.15І 7.15. РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 119 m»l
+-^7-П Ji (53)
yr(|i+l)r(v+ij у і
я > у > jf > о. ц, v > — Y (Сооке, 1928), « j ?+1 Г (v + 4)Scos(®°(j?)"V"1 Hv(mJC)---VT'
Щш I
0<JC<<<ji, ReV> —1 (Cooke, 1930, стр. 58), 0 < / < Jc < я, Re V > — 1 (Сооке, 1930, стр 58),
(54)
*v--2Г (v+ 1) 2 (-1Г (?)~V*"V Jv . (55)
«сі
0 < де< a, v>0,
OO
я Jv (je) — 23-4 V ,„i-v (4т> _ ц-1 Hvgmx)t (56)
ет=1
0<*<я, v> — -j-11-v / V\ / „\l-v
^-'/S-rtrfv " Hv(ах) + я/Г(v + 1)(1) ~\<«*)-
^ j
-2Г (v +1) 2 т («»-а*)"1 Ї1 -(-1)" *,ал1 (-у) (тх), (57)
О < дс < я, v>-j.
Относительно (55)-(57) см Pennel (1932).
Разложения типа Фурье — Бесселя. В последующих формулах V и г произвольны, но v Ф — 1, —2, —3,... Обозначим через ± \v, „ (л = 1, 2, 3, ...) нули функции Z-vJv(Z)t расположенные в порядке возрастания величины Re (yv, л) > 0. Тогда имеют место формулы (Buchholz, 1947)
47^?' Uv (*) У у (**) - Jv (Лж) Yv (z) J -
OO
С*. Yv, л) ^v (jfVv. B)l'v+1 (Yv, n)]~V-< „Г1. (58)
л = 1
0<*<Л<1,120 ГЛ. 7. функции бесселя. формулы
OO
Jy (XZ) „у V«, я Jy (xyv, я) м
OO
-,j -. 0<*<1.
Hf, Чп\Гу,п-П^+1(Ъ.п)
AttlU*) о- у А>+1 (Уу. я-*)
JO
I In Л - - V Ja (jfyn) Ja (Xyn) |Yny, (у,)Г2,
п» 1
0<дг<Л<1, Yn - Vo. » [Д(г)Г1 - 1 -2 § к 1 + YoTlt] lA(Ъ, /ОГ1.
y.wr»- 1 + 4 2 Ivo (Yo. л)і
[У, (г)Г1 -2f-' + ^ 2 [(^2-Yi, Я)А (Yi, „)Г1,
я»1
,[7, (г)]"» - 4»-« + 1 + 42 [Yb^2-Y?. „Ґ +
ЯШІ
Относительно формул (62) — (65) см Forsylb (1921).ГЛАВА 8
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА И ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
8.1. Введение
Пусть Xb хь Xt — декартовы координаты в трехмерном пространстве. Определим параболические цилиндрические координаты g, rj, ? с помощью формул
Xt — ^ Tt* . X3 шт ? (1)
и координаты параболоида вращения rj, ф с помощью формул Пусть
_«з
¦*! — COS Ф. X1- Sri Зіп ф, xt — — 2 * (2)
A JLj- * , д*
dxj + дх* + дх*
—оператор Лапласа, и пусть / — любая функция, зависящая только от Xi. Преобразуя дифференциальное уравнение в частных производных
Ди + /(*3)и-0 (3)
к параболическим цилиндрическим координатам, получаем следующее уравнение:
+ ^ + + (4)
Оио имеет частные решения ввда U (I) V (rj) W (J), где U, V, W удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям
^jg-+W+Ю U-0, +(OTja-X)K-0, (б)
+ [/Ю-a] B7-O (в)
с произвольными постоявиыми о, Л.
Аналогично, если к2 постоянно, то дифференциальное уравнение • частных производных
Ди + Д'и-О,122 гл. 8. функции параболического цилиндра (8.2
преобразованное к координатам параболоида вращения, имеет вид
Оно обладает частными решениями вида U (I) V (tfl W (<р), где U удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
d*U +г» ^ + (А2|2_4(А2Г2 + Я)?/в0> (8)
dl*
V удовлетворяет уравнению, аналогичному (8), с той лишь разницей, что знак при К изменен, a W удовлетворяет уравнению
d2W
Для того чтобы эти решения были однозначны и непрерывны на параболоидах \ — const Ht]= const, 2(i должно быть целым числом.
В случае, когда пространство имеет более трех измерений, возможны различные обобщения проведенного исследования уравнения (3). Относительно некоторых из ннх см Humbert (1920а, Ь, с, а)