Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
AL = A ^ akVk = ^2(\ak)Vk,
к=0 к=0
п п п
VL11L2 GPn^ L1+L2 = Y/ak-Dk+Y/bk-Dk=Y/(ak+bk)-Dk, где А G к.
к=0 к=0 к=0
Будем рассматривать либо к = R, либо к = С.
По определению, Li = L2 О ак = Ък (к = 0,1,..., п).
Таким образом, множество Pn является линейным пространством, поскольку в Pn, как нетрудно проверить, выполняются все аксиомы линейного пространства.
1.3. Кольцо дифференциальных операторов.
Рассмотрим теперь множество -Fb P^] дифференциальных операторов произвольного порядка. Введём в этом множестве операцию умножения следующим образом:
1. кольцо дифференциальных операторов F0(D) 21
V% = ^(l\b{i-^Vk. (4)
г
[
к=0
Таким образом, если не оговорено особо, Dlb не есть г-я производная от Ъ, а оператор, определяемый формулой (4); иными словами Dlb есть коэффициент при у в дифференциальном выражении D1 (by). Множество -Fb [D] представляет собой систему с двумя законами композиции, так как в нём однозначно определены для любых двух элементов Li, L2 сумма Li + L2, а также произведение L1L2, принадлежащие данному множеству.
Нетрудно убедиться в том, что -Fo [D] представляет собой ассоциативное кольцо. Пусть
П\ П2 Пз
k=0 k=0 k=0
Ассоциативный закон умножения операторов
L1(L2L3) = (L1L2)L3 (5)
достаточно доказать для одночленов L\ = Dp, L\ = aDq, L3 = bDr. Поскольку
Ll(LlLl) = DpaY(9 Y^Dr+m =
= J2 (f)a(p-l)Dl ]T (q\b-m)Vr+m, a
;=o ^ ' to=o
(L\l\)L% = (DpaDq)bDr = ^ (j J a^l)9+'MT
1=0
p
. I J ^ Vm
г=о x 7 to=o v
то это подтверждает справедливость формулы (5) для рассмотренного частного случая. Но закон (5) справедлив и в общем случае в силу непосредственно проверяемых диссипативных законов:
L1(L2 + L3) = LiL2 + LiL37 (Li + L2)L3 = L1L3 + L2L3.
Из (3) следует формула Лейбница
22
Глава 1
Формула (5) доказана без приведения полученного оператора к стандартной форме (2) с упорядочением по степеням ТУ. Используя формулу (4), а также формулу Дирихле
1=0 s=0 s=0 l=s
получим стандартный вид произведения L1L2L3.
^l2L3 = ±± ± (Л Q (Ла^-™-^+-+*.
1=0 l=s то=0 \ / \ / \ /
Итак, -Fo[^] является ассоциативным и, вообще говоря, некоммутативным кольцом, так как
L1L2 ф L2Ll (7)
Пример 1. Пусть L1 = аТ>%, L2 = ЪТ>К В силу формулы (3)
L1L2 = а V (Ль(*-*)їУ+* ф Ь V (Л,,= '' - Т>'= L2L1.
к=о s=0 W
Пример 2. Простейшим примером коммутативного кольца служит кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
Для операторов 1-го порядка с переменными коэффициентами справедлива следующая теорема.
Теорема 2 (Cayley [290], см. также Беркович [20]). Для того чтобы операторы L1 = PiD—cxi, L2 = ?2T>—a2 были коммутативны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения
?2 = c?i, а2 = Ca1 + сі, с, ci = const. (8)
• Необходимость. Так как
LiL2 = PiP2D2 + (/?/? - ?iсх2 - P2Cx1)D - ?xa'2 + Ct1Cx2, L2L1 = PiP2D2 + (P[P2 - ?xcx2 - P2(X1)D - P2Cx1 + CX1Cx2,
to PlP2 —Pl(X2 —P2CXl = P'lP2 —Pl(X2 — P2CXl, CXl(X2 —P1CX2 = CXlCX2 —P2Cx1,
откуда следует
PiP'2=P2P'i, P1CX2 = p2cx[. (9)
1. кольцо дифференциальных операторов F0(D)
23
Разделив первое из уравнений (9) на ?\, получим (/?//?)' = 0, ?1 ф 0, т. е. /?2 = c?i, с = const. Тогда второе из уравнений (9) даёт а2 = Ca1 + C1, Ci = const.
Достаточность условий (8) очевидна.»
Глубокая связь коммутативных операторов 1-го порядка с проводимостью ЛОДУ к уравнениям с постоянными коэффициентами выявляется в гл. 2, 3.
Аддитивная группа кольца Fo [D]
В силу свойств операции сложения элементы (операторы) кольца Fo [D] образуют абелеву (коммутативную) группу относительно операции сложения, называемую аддитивной группой кольца, или модулем.
1.4. Коэффициенты произведения двух операторов Предложение 1. Пусть
L1=Y L2 = Y biV3' L = L1XL2= Y cfc(?> 6^'
г=0 j=0 к=0
где (ii и bj — достаточное число раз дифференцируемые функции от х. Тогда
min(n,fc) и х.ч
ck(a,b)= Y ECU-SV (10)
s=max(0,fc—то) і=в
• При доказательстве будем дважды использовать формулу Дирихле (6). Поскольку
ті то п то г п то+s п
E^T^=EEE0)rs)^'+s=E E EO)C"^
г=0 J=O г=0 J=O S=O 5=0 k=s i=s
п m+s т k п k т-\-п п
EE= EE^(M+E E ^(M+E E ^(M =
5=0 k=0 к=0 S=O к—т, s=k — m к—п s=k — m
m+n min(n,fe)
= E E vKM),
k=0 s=max(0,fc—m)
то придём к (10).«
Рассмотрим частный случай. Нас будут интересовать коэффициенты crjk(b) оператора Dr Y^jLo ^jD-*.
24
Глава 1
Предложение 2.
min(r,fc)
і) cr,fe(» =
к = 0, т + г,
(11)
s=max(0,fc—m)
Cr,k(b) = 0, если к < 0 или к > т + г:
2) c0,fc(6) = ofe, к = 0,171; 3) cr-j?r+m-j(b) = bm, j = 4) cr,fe(6) = cr_ijfe_i(6) + dcr-i,k(b)/dx.
1, r;
(12)
2. Делимость в кольце i*oP?]
2.1. Структура кольца F0 [X>]
Теорема 1. Fo [D] является кольцом с единицей, не имеющим делителей
нуля.
• Существует в Fo[D] единица D0 = 1 такая, что IL = Li, VL Є Fq[D]. Пусть
— произвольные операторы из Fo[D], ап Ф 0, bm ф 0. Тогда
