Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что матрица Mj (а$) может быть легко построена следующим образом: нижняя строка матрицы размером (sj + I)(^i + пт) заполняется нулями и в конце — коэффициентами оператора Li, начиная со старшего. Следующая строка получается из предыдущей по формуле (1.12) и т. д.
Определение 2. Левой результантной матрицей R* операторов Li, і = = 1, т, назовём правую результатную матрицу операторов L*, формально сопряжённых к Li.
5.2. Основная теорема о результантной матрице
Введём обозначения: г = rang Л, г* = rang Л*, d = огаПНОД(і^), d* = ord ЛНОД (Lj) = оЫПНОД(Х*).
Теорема 1 (Беркович, Цирулик [83]). Справедливы следующие соотношения:
ni+nm=r + d, (пі + пт = г* + d*). (9)
6. Аналог теоремы Кронекера-Капелли
43
• Пусть N = ПНОД(і.,). Тогда уравнение (1) эквивалентно
т
YX1M1=O1 (L1=M1N). (10)
г=1
Система S (8) эквивалентна системе Sd, отвечающей уравнению (10). Поэтому если г = rang S, то rang Sd = rang S = г ^ п\ + пт — d. С другой стороны, согласно предложению 1, оператор РП1+Пт_г является правым делителем операторов Lj. Так как d есть ord N1 то выполняется неравенство d ^ п\+пт—г, которое вместе с предыдущим неравенством г ^ ni+nm—d приводит к требуемому результату.
Аналогично в силу определения левой результантной матрицы получаем щ + пт = г* + d* .•
6. Аналог теоремы Кронекера-Капелли
6.1. Критерий совместности системы ЛОДУ
Пусть
LiV = Ii1 i = l,m (1)
— неоднородная система ЛОДУ, коэффициенты и правые части которых являются достаточно гладкими функциями вещественной переменной х, и, по крайней мере, одна функция ф 0.
Решим вопрос о совместности системы (1), рассмотрев сначала однородную систему _
ЬіУ = 0, г = ї~т. (2)
Поскольку нетривиальному решению системы (2) соответствует общий правый делитель операторов L^ и наооборот, то ответ на вопрос о существовании нетривиальных её решений даёт следующая теорема.
Теорема 1. Система (2) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда г <п\+ пт.
• Предположим, что система (2) имеет нетривиальное решение, т. е. операторы Li имеют ПНОД порядка d > 0. По теореме 5.1 г < п\ + пт. Обратно, если г < п\ + пт, то опять на основании теоремы 5.1 приходим к выводу, что операторы Li обладают ПНОД порядка d > 0.»
Далее будем считать, что в системе (1) только одна из функций fi ф 0. В противном случае приведём её к этому виду, вычитая одно из уравнений с ненулевой правой частью, умноженное на подходящие элементы из Fo, из остальных. Умножив далее это единственное уравнение на оператор f{D —
— j[ слева, получим однородную систему
Lii) = 0, і = 1, т.
(3)
44
Глава 1
Пусть г — ранг правой результатной матрицы операторов Li, d = = ordПНОД(Li). Согласно теореме 5.1, TTi +пт = f + d, где Щ = тах(щ), пт = тіп(гїг).
Теорема 2. (Беркович, Цирулик [83]). Система (1) совместна в том и только в том случае, когда
п\ + пт - г > пі + пт - г. (4)
• Предположим, что система (1) совместна. Тогда размерность пространства Na решений системы (3) строго больше размерности пространства Na решений системы (2). Это приводит к неравенству d > d, из которого следует доказываемое неравенство (4).
Обратно, пусть выполняется неравенство (4). Тогда справедливо и неравенство d > d. Последнее означает, что пространство Na имеет большую размерность, чем пространство Na. Поэтому существует такое g ф О, 5 Є JV0, g 0 Na, что Lig = 0, Vz = 1, т. Поскольку в системе (1) только одно fi ф 0, то, интегрируя соответствующее уравнение из (3), получаем Ltg = Cifi, где Ci — некоторая постоянная. Если а ф 1, то системе (1) удовлетворяет функция (l/ci)g.»
Теорему 2 можно рассматривать как дифференциальный аналог известной в линейной алгебре теоремы Кронекера-Капелли.
Пример 1. (Иллюстрация к теореме 2). Исследовать на совместность систему уравнений:
Г 2х2у" + (х- 2х2)у' -у = О
<^ Ах2у" + Аху' - (Ax2 + 1)у = 0 (5)
[ у' —у = ах~3/2ех.
Однородная система, соответствующая (5), имеет вид
І2х2у" + (х- 2х2)у' - у =0 Ах2у" + Аху' - (Ax2 + 1)у = 0 (5')
У'-У =0.
Соответствующие дифференциальные операторы таковы:
L1 = 2xD2 + (x-2x2)D-l, L2 = Ax2 D2+ AxD-(Ax2+ 1), L3=D-I. Уравнение (5.2) примет вид
fioLi + fWL2 + (hiD + f30)L3 = (2x2fw + Ax2 f20 + f3i)D2+ + [(x - 2x2)fw + Axf20 + /зо - hi]D - [/io + (Ax2 + I)Z20 + /зо] = 0.
6. Аналог теоремы Кронекера-Капелли 45
Результантная матрица R(Li7L2, L3), т. е.
/ 2х2 Ax2 0 1 \
R = \ х-2х2 Ax 1 -1 ,
\ -1 -(4а;2 + 1) -10/
имеет rank R= 3. Условие (5.9) (а именно ni + nm = 2 + 1 = 3, г = 2>,d = 0) выполняется.
От данной неоднородной системы (5) перейдем к объемлющей однородной системе:
Г 2а;2у" + (х- 2х2)у' -у =0
< Ах2у"Аху' - (Ax2 + 1)у =0 (6)
[ 2а;у" + (3 - Ах)у' + (2х - 3)у = 0.
Соответствующими дифференциальными операторами являются
L1=L1, L2=L2, L3 = 2xD2 + (3 - 4а;)?> + 2х - 3. Уравнение (5.2) примет вид
U11D + /ю)Іі + (/21 + J20)L2 + +(/зі + Z30)I3 =
