Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 10

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 130 >> Следующая


образованном элементом /: L = (D + /)(D — /). Пример 2. Оператор Бесселя:

Bv = X2V2 + хТ> + X2 - V2. (2)

При индексе V = ±i, Bv разложим в поле Fo = к(х), точнее, в кольце к[х\:

Bi/2 = (хТ> + іх — 1/2)(хТ> — іх + 1/2), причём числовое поле R пришлось расширить, введя мнимую единицу.

Из классических работ Лиувилля следует, что оператор Bv разложим тогда и только тогда, когда индекс v равен полуцелому числу, т. е.

V = 2п2+ 1, тг = 0,±1,±2,....

При этом Bv разложим в к(х):

2п + 1

28

Глава 1

3.2. «Корни» оператора. Аналог теоремы Безу

Теорема 1. Остаток f(x) от деления L справа на V — а будет

/(ж)=ехр^— J adx^jLeXp(^Jadx^j. (4)

• Пусть L = M(V - a) + f(x). Тогда Z.exp(J adx) = M(V -— а) ехр( J adx) + f(x) ехр(J adx), откуда следует (4). •

Если L делится на (V — а)т, но не делится на (V — а)т+1 (справа), то а называется m-кратным корнем L. Если т = 1, то а называется простым корнем L.

Следствие 1. Если а — корень L, то L делится на (V — а) справа: L = M(V-а).

Пусть а\,..., ат — простые корни L. Тогда L делится на ПНОК (V — —а\,..., V—am). Так как Fq [V] — некоммутативное кольцо, то в отличие от кольца алгебраических полиномов к[х] теорема об однозначном разложении (с точностью до порядка сомножителей) в кольце I7O [V] места не имеет.

Пусть Qi — корень кратности mi для L, т.е. L = Li(V — ai)m, а2 — корень кратности га2 для L1,... ,as — корень кратности ms для L3-\, причём Ls_i = L8(V — as)m*. Тогда

і

L = Cin]J(V-

fc=i

3.3. Дифференцирование в кольце Fo [Т>]

Определение 2. Формальным дифференцированием (производной) 7г оператора L по символу V называется выражение вида:

\fe=0 / X) к=1

Справедливы свойства:

1) (cL)'v = cL'v; 2) (L + M)'v = L'v + M^; 3) (LM)'V = L'VM + LM^.

Формула Тейлора. Установим формулу Тейлора для дифференциальных операторов. В дифференциальном выражении Ly сделаем замену

п п к ,, %

y = yiz: L(ylZ) = Y akVk(ylZ) = E ^ E (J ^'W-yi =

к=0 к=0 s=0 ^7

П. П.

kl

V z^ V. fc! a,Vk-sv,.

3. Факторизация в основном дифференциальном поле f0

29

откуда вытекает формула Тейлора

S=O

Если у\(х) является решением уравнения Ly = 0, то порядок уравнения L(yiz) = 0 относительно z может быть понижен на единицу. Если Уг(х) является решением не только Ly = 0, но также и уравнений n(L)y = = 0,..., ttm~1(L)y = 0, то порядок исходного уравнения может быть понижен на т единиц.

Если справедливо разложение L = Li(V- а)т, то tt(L) = L2(V-— а)™-1; ord L2 = ord L\ = п — т.

3.4. Разложение на простые множители

Будем говорить, что L разложим на простые множители (делители) в Fo[D], если имеет место факторизация:

і і

L = Y\_Ptk, ^TrIkSk=Ti, ITIi = OTdP1,

k=l к=1

где Pi,... ,Pi не допускают дальнейшей факторизации в Fo[D].

Пусть имеем ещё один оператор М, допускающий факторизацию:

і і

М = П ' ШкГк = т'

к=1 к=1

где показатели Sk, г к — целые неотрицательные числа. Если операторы Pi,... ,Pi коммутативны, то

HOK (L,M) = JJpfemax(s*'r*).

fc=i

3.5. Схемы типа Горнера

Можно составить схемы, аналогичные схеме типа Горнера для алгебраических полиномов, позволяющие определить, принадлежит ли данный дифференциальный оператор выбранному простому идеалу (левому или правому).

ЗО Глава 1

L = (V-1)Yd?aW, /3„-і = 1. (7)

s=0

Перемножив операторы, стоящие в правой части формулы (7), найдём по методу неопределённых коэффициентов

ak=?,k-1?k+?k-1, k = n-l,0, ?-i=0, /3„_і = 1. (8) Из формул (8) следуют рекуррентные формулы

/3fe_i = ак- ?'k+l?k, к = п-1,1, (8')

представляющие схему Горнера для данного случая. При этом для проверки вычислений служит формула

а0 - ?'0 + 7/З0 = 0. (8")

Пример 4. Покажем, что оператор

L = D3 + —--^LJ- D--Ц^-

принадлежит правому идеалу M = D+1 /х, т. е. M является левым простым делителем оператора L.

о 1 п х+1-(и/2)2 1 - (и/2)2 Здесь 7 = --, а2 = 0, «і =---, а0 =--—-. Из

формул (8') находим

1 , ж +1-(г//2)2 ?i = а2 + 7 = --, /30 = аг - ?1 + /Зі7 =--z-.

Выражения для ао, /Зо и 7 удовлетворяют формуле (8"). Итак, имеет место факторизация

1 = (?+i)(D2_i?+?±i_W!l!,

б) Пусть оператор L принадлежит левому идеалу (T) — 7):

п-1

L = J2?sT)s (T)-I)1 /3„-і = 1. (9)

s=0

а) Пусть оператор L = Т)п + ... + ао принадлежит правому идеалу (T) — 7):

3. Факторизация в основном дифференциальном поле f0 31

l = y: ?^s+1 E ?-v-i = E ?-^ - E E ?> U ^fe)2?fe

S=O S=O s=l s=0 k=0

Il — 1 Il — 1 /ч П 11 — 1

fe=l fc=0 s=fe ^ ' k=0 s=k ^ '

/3„_i = 1, /3_i = 0 = ?0- Отсюда

И-1 , s

«fe =/3fe-i-E/3-(^7^, к = K=T^. Реісуррентньїе формулы

?k-i =ak + J2?8[lj7{s-k), к = ТГ^ТЛ (10)

представляют схему Горнера для этого случая. Для проверки вычислений служит соотношение

п-1

«о + J2 ?^a) = °- (10')

Пример 5. Покажем, что оператор M = D-X является правым простым делителем оператора L = D3 — QxD2 + (Их2 — 4)D — 6х3 + 7х, т. е. L принадлежит левому идеалу М.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed