Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
В заключение указывается на открытый вопрос:
Введение
17
Как найти нелинейные принципы суперпозиции для нелинейных и неавтономных уравнений п-го порядка, преобразуемых к линейному автономному виду с помощью достаточно общих преобразований зависимой и независимой переменных, и каков явный вид соответствующих классов уравнений!
Глава 1
Метод факторизации обыкновенных дифференциальных операторов
«.. .я больше всего дорожу аналогиями, моими самыми верными учителями.»
И. Кеплер.
В данной главе систематически представлен метод факторизации дифференциальных операторов п-го порядка через дифференциальные операторы первого порядка. Рассмотрены его применения для исследования на совместность системы линейных дифференциальных уравнений, а также для нахождения решений уравнений в квадратурах. Результаты этой главы широко используются на протяжении всей книги. Предполагается, что читатель знаком с простейшими алгебраическими понятиями. Некоторые из даваемых ниже определений понятий дифференциальной алгебры содержатся также в работах: (Капланский [142], Magid [363], Kolchin [336]) и др.
1. Кольцо дифференциальных операторов .Fo (.D)
1.1. Дифференциальное кольцо и дифференциальное поле
Дифференцирование. Дифференцированием 5 кольца Re называется аддитивное отображение а —> а' кольца Re в себя, такое, что (ab)' = = а'Ъ + ab'. Примерами дифференцирований могут служить: тривиальное дифференцирование Va Є Re => а' = 0; обычное дифференцирование S =
= -f =V, 5 = X -f и т. д.
Теорема 1. Любое дифференцирование в произвольной области целостности допускает единственное продолжение на соответствующее поле частных.
• Дифференцирование в поле частных определяется формулой (а/Ь)' = = (ba' — ab')/b2, Ъ ф 0. Эта формула корректна, ибо не меняется от замены |
на j^, с ^ 0. Формулы для дифференцирований от суммы и произведения
1. кольцо дифференциальных операторов F0(D)
19
функций проверяются непосредственно. Легко доказывается также единственность продолжения операции дифференцирования на поле частных.»
Дифференциальное кольцо. Дифференциальным кольцом называется коммутативное кольцо с единицей, в котором имеет место некоторое дифференцирование.
Примеры: 1. Любое коммутативное кольцо с единицей является дифференциальным кольцом относительно тривиального дифференцирования. 2. Кольцо целых функций относительно Т>. 3. Кольцо всех бесконечно дифференцируемых функций на действительной прямой относительно Т> (это кольцо имеет делители нуля). 4. Кольцо дифференциальных полиномов к[и, и',...] (множество полиномов от переменной и и её производных над числовым полем к).
Дифференциальный идеал. Идеал J дифференциального кольца Re называется дифференциальным, если из а Є T => а' Є Т.
Дифференциальная область целостности дифференциальное коммутативное кольцо с единицей, не имеющее делителей нуля.
Дифференциальное поле Fo — это пара (F, 8), состоящая из поля F и дифференцирования 8. Пусть к обозначает числовое поле (поле констант) F. Предположим, что к имеет характеристику 0 и что оно алгебраически замкнуто. Производную элемента а Є F будем обозначать 8а = а'. При дифференцировании поле F переходит в себя, т.е. если а Є F, то и а/ Є F. Если с Є к, то с' = 0.
В дальнейшем в качестве дифференцирования 8 будем предполагать обычное дифференцирование D, а в качестве числового поля к Є F будем предполагать либо поле комплексных чисел, либо поле алгебраических комплексных чисел, т. е. множество тех комплексных чисел, которые удовлетворяют алгебраическим уравнениям с рациональными коэффициентами.
Примеры дифференциальных полей: 1. Поле С(х) рациональных функций от одной переменной х. 2. Поле мероморфных функций. 3. Поле рациональных дифференциальных функций, т. е. поле частных дифференциальных полиномов. 4. Поле голоморфных функций. Пусть О — открытая область целостности комплексного переменного z. Каждая функция f Є Fq является однозначной и голоморфной в Г2, за исключением счётного множества изолированных особых точек. Полем констант служит поле комплексных чисел С.
1.2. Линейное пространство дифференциальных операторов
Определение 1. Пусть имеется линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)
Ly = J2akyk = 0, (') = #, akeF0. (1)
20
Глава 1
Выражение вида
п
L = Y,akT>k, V= ±, VP = I (2)
к=0
называется линейным обыкновенным дифференциальным оператором (ЛОДО), или просто дифференциальным оператором п-го порядка, соответствующим уравнению (1).
Оператор L линеен, так как он линейную комбинацию функций ys переводит в линейную комбинацию функций Ly8:
(т \ т
csVs I = C^Ly^ С* = const> Vs = Vs{x). s = i ) S = i
Определение 2. Дифференциальное поле, порождённое коэффициентами ак(х) уравнения (1), называется основным дифференциальным полем, которое будем по-прежнему обозначать Fq.
Пусть множество всех дифференциальных операторов порядка не выше п есть Pn. Введём в нём операции сложения и умножения на число.
п п
