Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 13

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 130 >> Следующая


Пример 5. Привести антисамосопряжённый оператор 3-го порядка к 3-й итерации (кубу) соответствующего оператора 1-го порядка.

Пусть L = (Т> — Ct)D[T) + а). Возьмём f(x) = ехр(3 Jadx). Тогда fL = [ехр(/adx)(T> - а)]3.

4. Преобразование сопряжения .

39

Приведём два предложения о самосопряжённых дифференциальных операторах, допускающих факторизацию специального вида (см. Беркович [50]).

Предложение 6. Самосопряжённый оператор L, допускающий факторизацию

fe=i

2п + 1 - 2к 2п- 1 '

yy(^

2п + 1- 2к 2 гг. - 1 С

можно представить в виде 2п-кратной итерации оператора 1-го порядка (с точностью до функционального множителя).

in

• Возьмём f(x) = ехр у-—^—j- Jadxj . При п = 1 приходим к примеру 4. Последовательно применяя к выражению fL операторное тождество

ехр

An - 2k + 2п-1

adx I [ V

2n+l-2k 2п-1 С

An -2к

ехр ( 2^1 / "^) (25 - «) ехР (fr=T /

1, 2п, придём к итерации

fL

ехр

2n- 1

adx J (Т> — а)

Предложение 7. Антисамосопряжённый оператор, допускающий факторизацию вида

L=H(V

1

v\l(v

1

к=1 к=п

можно представить как (2п + 1)-кратную итерацию оператора 1-го порядка (с точностью до функционального множителя).

• Возьмём f(x) = ехр ( ^ Jadx) . При п = 1 приходим к при-

меру 5. Последовательно применяя к выражению fL операторное тождество

ехр

2n + l-(fc-l)

idx

V-

1 - ,

ехр

adx I (V — а) ехр

2п + 1 - і

xdx

= 1, п,

40

Глава 1

придем к итерации

ехр

adx (T) — а)

2и+1

4.5. Аналог теоремы Безу при делении дифференциального оператора слева

Теорема 5. Остаток от деления слева оператора L на (T) — а) равен выражению

?(,)=ехР(/^)^ехР(-/

adx

(18)

• Пусть L = (D-a)M + g(x). Тогдаі* = -M*(D + a)+g(x), откуда, аналогично доказательству теоремы 3.1, приходим к выражению (18).«

5. Операторное уравнение в кольце F0 [d] и результантные матрицы

5.1. Вспомогательные утверждения

Пусть L = 0-{D1, г = 0, п, щ Є Fq, п = ordL. Оператор, формально сопряжённый к L, обозначим через L*. Операторы Lj Є Fo[T)], j = l,m, ord Lj = rij. Упорядочим множество Lj. Положим

пі = Птах = max(raj), nm = nmin = 111111(?) з з

и рассмотрим уравнение

XiLi + X2L2 + ... + X7nL7n = 0, (1)

где Xj = "}2xj,kL)k, k = 0, s — операторы с буквенными коэффициентами порядка пі + пт — Uj — 1. Перемножив операторы в (1), перепишем это уравнение в виде

E №1 = °> (2)

Z=O

где коэффициенты /; — линейные формы неизвестных Xjtk с коэффициентами cr!k(cij) (см. предложение 1.2). Для определения Xjtk имеем систему

5. Операторное уравнение в кольце f0[d] и результантные матрицы 41

линейных алгебраических уравнений, состоящую из щ + пт уравнений с Y^1JLi(3J + 1) неизвестными:

fi(... ,Xj.k,...) = О, I = 0, щ + пт - 1, j = l,та, Zc = O5Sj. (3)

Предположим, что ранг системы (3) равен г. Без ограничения общности можно считать линейно независимыми формы /; с номерами I = щ + пт — — г,..., т + пт — 1. Для остальных номеров

П1+Пт —1

fl= Y 9k,ifk, I = 0, H1 +пт - г -1. (4)

к=п\+пп1 — г

где gkj зависят только от коэффициентов операторов Lj и их производных. Подставляя (4) в (2), получим

пг+Пт—1 /пг+Пт—r — l \

? ІЧ E (9k,iVk +Vі) 1=0. (5)

1=П\-\-Пт—Г \ к=0 /

Обозначив выражение, стоящее в формуле (5) во внешних скобках, через Pi, получим уравнение

Пі+Пт —1

E № = °- (6)

1 = П\+Пт —г

Предложение 1. Оператор РП1+Пт-г порядка п\ + пт — г является правым делителем операторов P].

• Пусть г/і, (і = 1, п\ + пт — г) — некоторый базис пространства решений ЛОДУ

РП1+Пт_г(у) = 0. (7)

Из (6) следует

E fiPi(Vi)=°- (8)

l=n\+nfn— г

Если не все Рі(уі) = 0, то (8) указывает на линейную зависимость форм Но это противоречит предположению, что ранг системы (3) равен г. Следовательно, Pi[уі) = 0 для всех I и всех г, а операторы Pi делятся справа на оператор РП1+Пт_г.»

Предложение 2. Операторы Lj делятся справа на оператор РП1+Пт _г.

42

Глава 1

• Из предложения 1 и уравнения (5) следует, что YJj=i XjLj(yi) = О для каждого решения уравнения (7). Обозначив Lj(уі) = hj^, последнее равенство запишем в виде

т m/s, \ т Sj

EЕЕ•0••^* = EE^SS = °-

j = l j = l \fe=0 / j = l fe=0

Так как это равенство должно выполняться при произвольных значениях Xjtk, то hjti = 0. Отсюда Lj(yi) = О для каждого решения уравнения (7). Поэтому оператор РП1+пт-г является правым делителем операторов Lj.»

С помощью коэффициентов crtk (предложение 1.2) систему (3) запишем в развёрнутом виде:

т si

E E xi,Picsi-Pi,i-Pi(ai) = °> Z = 0, щ + rcm - 1. (81)

і=1 рі=0

Определение 1. Правой результантной матрицей R операторов Li (г = = 1,та) назовём матрицу, совпадающую с матрицей системы (8) с точностью до транспонирования.

Таким образом, по определению, R = (М\(а\),..., Mm(am))*, где (.. .)* — вектор-столбец, а М^(щ) — матрица вида

і,Пі-\-Пт —

О cSi_i;ni+nm_2(aj)...... cSi_i;0(aj)

О 0 ... со,П1(аг) с0,о (?) /
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed