Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Пример 5. Привести антисамосопряжённый оператор 3-го порядка к 3-й итерации (кубу) соответствующего оператора 1-го порядка.
Пусть L = (Т> — Ct)D[T) + а). Возьмём f(x) = ехр(3 Jadx). Тогда fL = [ехр(/adx)(T> - а)]3.
4. Преобразование сопряжения .
39
Приведём два предложения о самосопряжённых дифференциальных операторах, допускающих факторизацию специального вида (см. Беркович [50]).
Предложение 6. Самосопряжённый оператор L, допускающий факторизацию
fe=i
2п + 1 - 2к 2п- 1 '
yy(^
2п + 1- 2к 2 гг. - 1 С
можно представить в виде 2п-кратной итерации оператора 1-го порядка (с точностью до функционального множителя).
in
• Возьмём f(x) = ехр у-—^—j- Jadxj . При п = 1 приходим к примеру 4. Последовательно применяя к выражению fL операторное тождество
ехр
An - 2k + 2п-1
adx I [ V
2n+l-2k 2п-1 С
An -2к
ехр ( 2^1 / "^) (25 - «) ехР (fr=T /
1, 2п, придём к итерации
fL
ехр
2n- 1
adx J (Т> — а)
Предложение 7. Антисамосопряжённый оператор, допускающий факторизацию вида
L=H(V
1
v\l(v
1
к=1 к=п
можно представить как (2п + 1)-кратную итерацию оператора 1-го порядка (с точностью до функционального множителя).
• Возьмём f(x) = ехр ( ^ Jadx) . При п = 1 приходим к при-
меру 5. Последовательно применяя к выражению fL операторное тождество
ехр
2n + l-(fc-l)
idx
V-
1 - ,
ехр
adx I (V — а) ехр
2п + 1 - і
xdx
= 1, п,
40
Глава 1
придем к итерации
ехр
adx (T) — а)
2и+1
4.5. Аналог теоремы Безу при делении дифференциального оператора слева
Теорема 5. Остаток от деления слева оператора L на (T) — а) равен выражению
?(,)=ехР(/^)^ехР(-/
adx
(18)
• Пусть L = (D-a)M + g(x). Тогдаі* = -M*(D + a)+g(x), откуда, аналогично доказательству теоремы 3.1, приходим к выражению (18).«
5. Операторное уравнение в кольце F0 [d] и результантные матрицы
5.1. Вспомогательные утверждения
Пусть L = 0-{D1, г = 0, п, щ Є Fq, п = ordL. Оператор, формально сопряжённый к L, обозначим через L*. Операторы Lj Є Fo[T)], j = l,m, ord Lj = rij. Упорядочим множество Lj. Положим
пі = Птах = max(raj), nm = nmin = 111111(?) з з
и рассмотрим уравнение
XiLi + X2L2 + ... + X7nL7n = 0, (1)
где Xj = "}2xj,kL)k, k = 0, s — операторы с буквенными коэффициентами порядка пі + пт — Uj — 1. Перемножив операторы в (1), перепишем это уравнение в виде
E №1 = °> (2)
Z=O
где коэффициенты /; — линейные формы неизвестных Xjtk с коэффициентами cr!k(cij) (см. предложение 1.2). Для определения Xjtk имеем систему
5. Операторное уравнение в кольце f0[d] и результантные матрицы 41
линейных алгебраических уравнений, состоящую из щ + пт уравнений с Y^1JLi(3J + 1) неизвестными:
fi(... ,Xj.k,...) = О, I = 0, щ + пт - 1, j = l,та, Zc = O5Sj. (3)
Предположим, что ранг системы (3) равен г. Без ограничения общности можно считать линейно независимыми формы /; с номерами I = щ + пт — — г,..., т + пт — 1. Для остальных номеров
П1+Пт —1
fl= Y 9k,ifk, I = 0, H1 +пт - г -1. (4)
к=п\+пп1 — г
где gkj зависят только от коэффициентов операторов Lj и их производных. Подставляя (4) в (2), получим
пг+Пт—1 /пг+Пт—r — l \
? ІЧ E (9k,iVk +Vі) 1=0. (5)
1=П\-\-Пт—Г \ к=0 /
Обозначив выражение, стоящее в формуле (5) во внешних скобках, через Pi, получим уравнение
Пі+Пт —1
E № = °- (6)
1 = П\+Пт —г
Предложение 1. Оператор РП1+Пт-г порядка п\ + пт — г является правым делителем операторов P].
• Пусть г/і, (і = 1, п\ + пт — г) — некоторый базис пространства решений ЛОДУ
РП1+Пт_г(у) = 0. (7)
Из (6) следует
E fiPi(Vi)=°- (8)
l=n\+nfn— г
Если не все Рі(уі) = 0, то (8) указывает на линейную зависимость форм Но это противоречит предположению, что ранг системы (3) равен г. Следовательно, Pi[уі) = 0 для всех I и всех г, а операторы Pi делятся справа на оператор РП1+Пт_г.»
Предложение 2. Операторы Lj делятся справа на оператор РП1+Пт _г.
42
Глава 1
• Из предложения 1 и уравнения (5) следует, что YJj=i XjLj(yi) = О для каждого решения уравнения (7). Обозначив Lj(уі) = hj^, последнее равенство запишем в виде
т m/s, \ т Sj
EЕЕ•0••^* = EE^SS = °-
j = l j = l \fe=0 / j = l fe=0
Так как это равенство должно выполняться при произвольных значениях Xjtk, то hjti = 0. Отсюда Lj(yi) = О для каждого решения уравнения (7). Поэтому оператор РП1+пт-г является правым делителем операторов Lj.»
С помощью коэффициентов crtk (предложение 1.2) систему (3) запишем в развёрнутом виде:
т si
E E xi,Picsi-Pi,i-Pi(ai) = °> Z = 0, щ + rcm - 1. (81)
і=1 рі=0
Определение 1. Правой результантной матрицей R операторов Li (г = = 1,та) назовём матрицу, совпадающую с матрицей системы (8) с точностью до транспонирования.
Таким образом, по определению, R = (М\(а\),..., Mm(am))*, где (.. .)* — вектор-столбец, а М^(щ) — матрица вида
і,Пі-\-Пт —
О cSi_i;ni+nm_2(aj)...... cSi_i;0(aj)
О 0 ... со,П1(аг) с0,о (?) /