Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
L1L2 = anbmVn+m + (nanbm + ап-гЬт)Т)п+т-1 + ... + a0b0,
откуда V-Li ф 0, VL2 ф 0, =>• -LiL2 0, т.е. Fo[D] не имеет делителей нуля.»
Следствие 1. 0Id(L1L2) = ord(Li) + ord(-L2).
Несмотря на то, что Fo [D] — кольцо без делителей нуля, оно не является областью целостности, поскольку не является коммутативным кольцом. Теорема 2. Кольцо Fo [D] является евклидовым.
• Действительно, VL Є Fo[D], L ф 0, можно сопоставить целое неотрицательное число g(l) = ord-L, удовлетворяющее условию
Заметим также, что в кольце Fo [D] имеет место деление с остатком согласно алгоритму Евклида.»
Теорема 3. В кольце Fq [D] каждый идеал является главным. Иными словами, Fq [D] — кольцо главных идеалов.
п т
Li = ^afeDfe, L2 = ^D8
fc=0 s=0
V-Li ф 0, L2 ф 0 => 0Id(L1L2) ^ ord-Li.
2. Делимость в кольце f0 [d]
25
• Возьмём произвольный идеал P С Fb[D]. В качестве M выберем оператор наименьшего порядка, содержащийся в Р. Так как в Fq [D] существует алгоритм деления, то L можно представить в виде L = QM + S. Если S ф 0, то ord S < ord F. Поскольку L — QM = S Є Р, a L имеет наименьший порядок среди всех содержащихся в Р, то S = 0. Итак, L = QM, т.е. P = (Af).»
2.2. НОД дифференциальных операторов
Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) дифференциальных операторов можно осуществлять по общей схеме отыскания НОД в евклидовых кольцах. Оператор N называется правым (левым) НОД операторов Fi и L2, если неопределённые уравнения
имеют соответствующие решения в операторах XnY. Очевидно, ordiV < min(ordii,ordF^)-
Операторы L1 и L2 взаимно просты справа (слева), если их ПНОД (ЛНОД) является оператором 0-го порядка, т. е. элементом Fq. Пример 1. Для операторов
L1 = D3 - QxD2 + (11х2 - A)D - 6х3 + 7х, L2 = D2 - AxD + Ъх2 - 1
имеем ПНОД (Li, L2) = N1 = D — х, и уравнение (1) имеет решение X = = 1, Y = —D + 2х; а ЛНОД (L\, L2) = N2 = D-2>х, и уравнение (2) имеет решение X = 1, Y = —D — 2х.
2.3. HOK дифференциальных операторов
Пусть L17L2 Є Fq[D]. По определению, правое наименьшее общее кратное операторов L17L2 (ПНОК (L17L2)) есть пересечение левых идеалов (Fi), (L2). Иными словами, ПНОК (L17L2) есть дифференциальный оператор наименьшего порядка, делящийся без остатка на операторы L1, L2 справа.
Аналогично определяется ЛНОК (Fi, L2). Построение ЛНОК (ПНОК) осуществляется, исходя из формул
ord ПНОК (Fi1F2) = ord Fi + ord F2 - ord ПНОД (Fi1F2), (3) ord ЛНОК (Fi1F2) = ord Fi + ord F2 - ord ЛНОД (L17L2). (4)
ПНОД (Fi, F2) = XFi + YL2 = Ni
(1)
ЛНОД (Fi, F2) = FiX + L2Y = N2
(2)
26
Глава 1
Если ord-Li = п, ordZ<2 = то, ord ПНОД (Li, L2) = I, то ПНОК (Li1L2) строится следующим образом: L3 = ПНОК (Li, L2) = = XLi = YL2, где подлежащие определению операторы X, Y имеют соответственно порядки то — I, п — I.
Если Li и L2 коммутативны, то T\ROK(Li, L2) = JlHOK(Li, L2) = = HOK(Li,L2). Если, кроме того, операторы Li, L2 взаимно просты, то HOK (Li, L2) = LiL2.
Пример 2. Пусть даны операторы
Li = xD2 + D + o2X7 L2 = xD1 + D- а2х.
ПНОК (Li,L2) = (x2D2-xD-a2x2+ I)Li = (х2 D2 - xD + а2 х2+ X)L2 = = X3D4 + 2x2D3 - xD2 + D- а4х3.
3. Факторизация в основном дифференциальном поле F0
3.1. Основные определения
Определение 1. Оператор L называется разложимым (факторизуе-мым) в Fq, если он допускает представление в виде произведения (факторизации) операторов более низкого порядка с коэффициентами из -Fo (причём если числовое поле к = R,to при факторизации оно может быть расширено до поля С):
L = L2Li. (1)
В противном случае оператор L называется неразложимым (нефактори-зуемым) в поле Fo.
В случае факторизации (1) ord і = ord Li + ord L2.
Напоминаем, что кольцо Fo [D] не имеет делителей нуля.
Эквивалентным является следующее определение:
Определение 2. Уравнение Ly = 0 порядка п является разложимым в Fo [D], если оно имеет общий нетривиальный интеграл с другим уравнением My = 0 порядка меньше п с коэффициентами из Fo.
В противном случае уравнение Ly = 0 называется неразложимым в F0[D].
Если уравнение Ly = 0 имеет общий интеграл с уравнением My = О, то ПНОД (L7M) = Li, или L = L2Li. В этом случае уравнение Ly = = 0 допускает понижение порядка подстановкой Liy = z, вследствие чего придём к уравнению L2Z = 0.
Заметим, что вместо терминов «разложимый» и «неразложимый» чаще всего употребляются термины «приводимый» и «неприводимый». Однако они будут использованы в последующих главах в другом смысле.
3. Факторизация в основном дифференциальном поле f0 27
Bv = (хТ> + xlnif2 + ipi)(xT> + срз/срз), ipi = ±ix
2
n v4 і ^sV1 + 1/2'8], , ¦ ,2s +1, Д [n|l/2,s]
= ?(±i)'-^^(±«+—), ^2 = х- Т,(±іГ^—^
где символ Ханкеля
[(2n + I)2 - l2][(2n + I)2 - З2]... [(2п + I)2 - (2s + I)2]
[п + 1/2, s]
22ss!
Пример 3. Вырожденный случай оператора Ламе:
L = D2-(a + 2/rc2), а Є R. (3)
Оператор L допускает факторизации:
L= (v+^T-lTy?\h-^-- + l±y?\, афО,
Пример 1. L = D2—/2 — /', (') = -J-, L разложим в поле F0,
