Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Немало достижений в интегрировании нелинейных ОДУ достигается путем использования т. н. теста Пенлеве - Ковалевской. Однако потенциальные возможности этого теста не до конца были выявлены из-за того, что
Введение
11
наблюдаемая связь его с интегрируемостью не обоснована в достаточной мере.
Новые перспективы для интегрирования ОДУ открылись с других сторон, а именно с теории нелинейных уравнений в частных производных и теоретической физики (конкретно — теории солитонов). Начиная с середины 60-х годов XX в. наблюдается взрыв научной активности в изучении нелинейных явлений, чему способствует участие в этой деятельности также физиков-теоретиков.
Из попыток исследовать инвариантные решения некоторых замечательных уравнений нелинейной физики, таких, например, как уравнение Корте-вега-де Фриза, возникли метод обратной задачи рассеяния (Захаров В. E., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. [127]), алгебро-геометриче-ский метод, метод сингулярного многообразия и др.
В последние годы уделяется большое внимание т. н. методу Хироты. Однако можно согласиться со следующей оценкой этого метода: «... это исключительно мощный инструмент: слово метод в данном случае не совсем подходит, потому что при использовании он очень сильно опирается на опытность и интуицию исследователя» (Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. [111], с. 54).
Актуальность проблемы интегрируемости ДУ подтверждается, с одной стороны, необходимостью получения точных решений для новых математических моделей. С другой стороны, ширится понимание того, что интегрируемость ДУ является междисциплинарной областью знаний: различные аспекты ее стимулировали за последние десятилетия развитие фундаментальных математических наук: Алгебры, Геометрии и Анализа. Было получено также немало конкретных результатов, касающихся интегрируемых динамических систем. Особенно следует отметить, что при этом вновь оказались востребованными работы классиков. Однако указанные достижения не исключают необходимости вновь и вновь возвращаться к такому неисчерпаемому источнику теоретических и прикладных задач, каковым является проблема интегрируемости.
Данная монография призвана систематизировать полученные автором результаты и изложенные в различных статьях, докладах на семинарах и конференциях, а также в лекциях на спецкурсах.
Автор надеется продемонстрировать в ней, как можно весьма эффективно находить замены переменных и на этой основе интегрировать широкие классы ОДУ. Было бы неверно представлять этот процесс слишком упрощенно. Здесь важно все: и сам вид применяемого преобразования, и тип уравнения, к котором стремимся прийти (целевое уравнение), и смысл, вкладываемый в понятие интегрируемости.
В классической теории под лиувиллевым решением ДУ понимается функция, принадлежащая лиувиллевому расширению основного дифферен-
12
Введение
циального поля Fo (т. е. полученная из Fq присоединением интегралов, экспонент интегралов и алгебраических функций). В данной работе рассматриваются также обобщенные лиувиллевы решения, т. е. такие решения ДУ, которые принадлежат к обобщенному лиувиллевому расширению основного дифференциального поля, содержащему помимо лиувиллевого расширения решения какого-нибудь эталонного линейного уравнения второго порядка или эталонного нелинейного уравнения первого порядка. Такие решения будем называть точными.
Высшей целью любой эффективной теории интегрирования является построение алгоритмов (или доказательство их отсутствия). Явные формулы имеют непреходящий характер и вбирают в себя максимально возможную информацию. Они необходимы для подтверждения математической и физической интуиции, и для сопоставления различных теорий, включая границы их применимости.
Занимаясь проблемой интегрируемости ОДУ, автор пришел к выводу, что ключ к ее пониманию заключен в трех словах: факторизация и преобразования, в осознании необходимости совместного использования факторизации и преобразований, т.к. в этом случае целое больше суммы составляющих его частей.
Уже заложенные основы единой теории факторизации и преобразований ОДУ гг-го порядка (п ^ 2) позволяют конструктивно решать проблемы эквивалентности уравнений. В результате оказывается возможным не только построить новые классы интегрируемых уравнений, но и объяснить немало «чудес» интегрируемости.
Используя известные методы группового анализа и дифференциальной алгебры, автор большое внимание уделил разработке и развитию методов факторизации, автономизация и точной линеаризации. На их основе построены эффективные алгоритмы, частично реализованные в системе компьютерной алгебры REDUCE.
Впервые метод факторизации дифференциальных операторов применительно к конструктивному решению линейных ОДУ с переменными коэффициентами систематически был представлен автором еще в 1967 г. [22]. В настоящей работе этот метод получил свое дальнейшее логическое развитие, т. к. он реализован не только в основном дифференциальном поле, но и в его алгебраическом и трансцендентном расширениях. Впервые этот метод распространен и на нелинейные уравнения. В результате получила развитие дифференциальная алгебра обыкновенных дифференциальных операторов.
