Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
8
Предисловие
Здесь ключевую роль играет отыскание переменных, в которых вид ДУ существенно упрощается. Правда, для нахождения таких подстановок нет никакого общего правила, и поэтому, как заметил еще Якоби, «... мы должны идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена».
С другой стороны, для определенных классов ДУ можно использовать специальные методы, опираясь на их специфическую структуру. Примером служит широкий и важный, с точки зрения приложений, класс линейных ДУ. Ключевой идеей здесь является идея факторизации (разложения соответствующего дифференциального оператора на множители), которая позволяет использовать методы дифференциальной алгебры. Подход Л. М. Берковича основан на удачном синтезе метода факторизации (включая факторизацию нелинейных систем) и замен переменных. Это позволило продвинуться в направлении конструктивного интегрирования ДУ и в решении задачи об их эквивалентности.
Этот круг вопросов тесно связан с известными гипотезами В. И. Арнольда об аналитической и геометрической неразрешимости проблемы интегрируемости дифференциальных уравнений в пространстве размерности > 1. Задача называется аналитически разрешимой, если ее решение выражается через данные задачи посредством аналитических операций. Задача неразрешима геометрически, если среди задач, которые получаются из нее заменами переменных, нет задач, разрешимых аналитически. Тем большую ценность имеют результаты Л. М. Берковича, указывающие конструктивные условия (в аналитическом и геометрическом смыслах) интегрируемости отдельных классов ДУ. Из сказанного выше становится ясной актуальность и перспективность развиваемой автором теории.
Основным полученным результатам автор предваряет необходимые сведения из дифференциальной алгебры, обсуждается метод факторизации и вводятся важные определения дифференциального алгоритма Евклида и дифференциального результанта.
Соединение методов дифференциальной алгебры и систематическое использование замен переменных (преобразования Куммера-Лиувилля, Эйлера - Имшенецкого - Дарбу и др.) позволило, с одной стороны, дать полное решение ряда классических задач (задача Альфана о нахождении условий эквивалентности линейных уравнений высших порядков, включая эффективное построение их инвариантов, а также канонических форм Альфана и Лагерра-Форсайта; задача Гильдена-Мещерского и другие нестационарные задачи небесной механики), а с другой стороны — указать новые классы интегрируемых уравнений.
Используя свойства симметрии, построен общий класс нелинейных уравнений, допускающих автономизацию. К этому классу принадлежат динамические системы Ермакова и их обобщения.
Предисловие
9
Критерии точной линеаризации выражаются через факторизацию нелинейных дифференциальных операторов первого порядка и найденную в явной форме нелинейную замену переменных. Установлено свойство лине-аризуемости уравнений Эйлера, описывающих вращение волчка, и соответственно простейшей системы гидродинамического типа (триплета). Проведена линеаризация важного класса интегрируемых лиувиллевых систем.
Используя критерии автономизации и точной линеаризации, построены различные обобщения уравнения Эмдена-Фаулера.
Развитыми автором методами найдены точные решения (в том числе и новые) типа бегущей волны для уравнения Колмогорова-Петровского -Пискунова и связанных с ним уравнений Семенова и Зельдовича.
Построен новый класс нелинейных эволюционных уравнений п-го порядка, для которого имеет место нелинейный принцип суперпозиции.
Книга Л. М. Берковича — существенный вклад в нелинейную науку. Эта монография является важным дополнением к имеющейся литературе по интегрируемости и в значительной мере ликвидирует разрыв, существующий между классическими и современными работами в данной области. Изложение весьма подробное и ясное. В комментариях содержится интересная и поучительная информация исторического характера; немало забытых и полузабытых работ вновь окажутся востребованными и войдут в научный оборот.
Л. М. Беркович убедительно показал, что исследования на интегрируемость и, в частности, поиск точных решений, должны осуществляться на надежном методологическом фундаменте. Один из опорных камней в этот фундамент заложил своей книгой автор.
Академик РАН В. В. Козлов
Моей жене Белле за ее терпение, поддержку, ободрение и советы.
Введение
Факторизация и преобразования — связующие звенья в проблеме интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
Данная работа посвящена аналитическому и алгебраическому исследованию проблемы интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). К этой проблеме издавна существовало два подхода, один из которых связан с заменами переменных, а другой — с использованием аналогий с алгебраическими уравнениями. Однако применение подстановок, как правило, носило эвристический характер. Действительно, длительное время считалось, что для преодоления главного препятствия в процессе интегрирования ДУ, а именно для нахождения подходящих замен переменных, не существует никакого регулярного метода. Если же удавалось найти соответствующее преобразование, то это служило стимулом для поиска задач, где найденное преобразование могло быть успешно применено. Революционный прорыв в области интегрирования ДУ удалось совершить Софусу Ли, создавшему науку, называемую теперь теорией групп Ли и алгебр Ли. Связываемые с этим ожидания оказались не напрасными. Концептуальная и униформизующая роль лиевской теории является в настоящее время общепризнанной. Особенно плодотворным оказалось её применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладывались уже при выводе этих уравнений (см., например, Овсянников Л. В. [194], Ибрагимов Н. X. [132]). Однако область применения лиевской теории к ДУ не является безграничной. Её возможности не позволяют полностью «закрыть» проблему интегрируемости. Необходимо учитывать и использовать существующие глубокие аналогии между алгебраическим и дифференциальными уравнениями и, прежде всего, связанные с возможностями факторизации. Это мощное средство, но оно с трудом распространялось на ОДУ (в силу некоммутативности дифференциальных операторов), да и то лишь на линейные, и притом носило неэффективный характер.
