Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Здесь 7 = х, С12 = —6х, а\ = Их2 —А, а0 = — 6х3 + 7х. Из формул (10) находим ?\ = сх2 + 7 = —Ьх, /? = сх\ + /Зі7 + 2j' = 6х2 — 2.
Соотношение (10') выполняется. Итак, имеет место факторизация
L = (D2 - 5xD + 6х2 - 2)(D - х).
3.6. Условия факторизации одного дифференциального оператора с полиномиальными коэффициентами
Рассмотрим уравнение вида
у" + (ах + Ь)у' + (Ax2 + Bx + С)у = 0, a, b, А,В,С = const. (11)
Преобразуем выражение, стоящее в правой части формулы (9):
п—1 п— 1 п п—1 S
32
Глава 1
Соответствующий оператор
L = V2 + (ах + b)V + Ax2 + Bx + С (12)
допускает факторизацию
L = (V+ J2)(V + J\), (13)
где /іі І2 ? к[х] — линейные функции от х; либо факторизацию
JL = fV2 + (/' + hf + g)V + hg + g' = (V + h)(fV + g), (14)
где / = x — к, h = ?ix+fio, 9 = А2Ж2 + Аіа;+Ао, fc, /іі, До, А2, Ai, Ao = const. Очевидно, что f' + hf+g = 0 (mod f).
Теорема 2. 1) Для того чтобы оператор (12) допускал факторизацию (13), необходимо и достаточно, чтобы параметры В, С принимали следующие значения соответственно:
В = aq — bp — 2pq, С = a + р — q(b + q),
В = (a + p)(b + q) + pq, С = a + р - q(b + q),
В = (a + p)(b + q) + pq, С =—р — q(b + q),
В = —aq — bp — 2pq, C = —p — q(b + q),
где A = —p(a + p), a, b,p,q — произвольные параметры.
2) Для того чтобы оператор (12) допускал факторизацию (14), необходимо и достаточно, чтобы
C= і (б2 - a2k2) - к2р(а + р) + (2а + Зр),
либо
С=^(Ъ2 - а2к2) - к2р(а +р)-(а + Зр).
При этом А = —р(а +р), B = 2кр(а+р) + ^а(ак + Ь), где к — параметр.
• Доказательство проводится прямым счётом с использованием факторизации.»
Замечание 1. Интегрируемость уравнения (11) в указанных выше двух случаях ранее иным путём была установлена (Mitrinovich [369]). А в работе (Rheni [392]) получен соответствующий результат для уравнения у"+(Ax2 + + Bx + С)у = 0 путём определения дифференциальных групп Галуа, при которых оно разрешимо в квадратурах (см. также Ярский [238]).
4. Преобразование сопряжения .
33
3.7. Алгоритмичная процедура построения факторизации в поле к(х)
Явное построение факторизации операторов 2-го порядка, когда это возможно, а также эффективное доказательство несуществования факторизации в к(х) осуществляется с помощью несложной известной алгоритмической процедуры. Проще всего её рассмотреть на конкретном примере.
Пример 6. Покажем, что оператор Эйри
L = V2 +X (15)
не факторизуется в к(ж). Предположим противное, что
L = (Т> — Ct2)(D — ai), где оц, а2 Є к(ж).
Из факторизации следует а\ + а2 = 0, а\а2 — а'г = х, откуда получим
a'i = —а\ — х. (16)
Уравнение Риккати (16), по предположению, имеет в качестве решения рациональную функцию а\ = где / и д — взаимно простые полиномы, deg / = та, degg = п. Из этого следует выражение
9Ґ - fg' + f + хд2 = о- (17)
Степени полиномов-слагаемых будут следующими: m + п — 1, m + п — 1, 2m, 2n + 1. Возможны два случая: deg/ > degg, deg/ degg.
1) Пусть m > п. Тогда единственным старшим членом в (17) будет /2, и, следовательно, он не может уничтожиться.
2) Пусть m ^ п. Тогда единственным старшим членом будет хд2. Таким образом, уравнение (16) в к(х) решений не имеет, и, следовательно, оператор (15) — неразложимый в к(х).
4. Преобразование сопряжения и самосопряженные дифференциальные операторы
4.1. Преобразование сопряжения и его свойства
Определение 1. Преобразование сопряжения т есть линейный оператор, который действует на ЛОДО L согласно формальным соотношениям
r[p(x)Dn] = {-l)nDnp{x) = (-1)" J2 (t)p{k)Dn-\ (1)
k=0 ^ ^
34 Глава 1
т l[Lk = Ц(тЬк) = 11 L*k.
к=п к=1 к=1
Следствие 2.
t2L = L. (4)
• Согласно формуле (3) r(pDn) = (тОп)(тр). Тогда t2pDn = = (т2р)(т2Оп). Но так как т2р = тр = р, а т Dn = t[(-l)nDn] = = (—l)nDn = Dn, то t2pDn = pDn. В силу линейности преобразования т придём к (4).»
Следствие 3. Дифференциальный оператор L + L* инвариантен относительно т.
Предложение 2. Факторизация сопряжённого оператора имеет вид
1 я
L=H (?kD - ak) ^L* = (-1)" Д (?kD + ?'k+ ак). (5)
к=п к=1
• Согласно предложению 1, получим выражение
п п
L*= TL=H T(?kD -ак) = Ц (-D?k - ак),
к=1 к=1
откуда тотчас следует (5).»
Предложение 3 (Rainville [386]). Функция T = Aa^a2 — 2а2а[ + 2CLiCl2 — — а\ от коэффициентов оператора L = a2D2 + a\D + а$ является инвариантом преобразования т.
• Доказывается непосредственно.*
п п
t[J2 bsPs{x)Ds] = J2 bsT[psD% bs = const. (2)
s=0 s=0
Оператор tL, формально сопряжённый к L, обозначим через L*. Предложение 1. Пусть LuM- два ЛОДО. Тогда
t(L, M) = (tM)(tL) = M*L*. (3)
• Прежде всего, легко проверяется частный случай формулы (3): T(pDnqDm) = (TqDm)(TpDn), где п,т Є N, р = р(х), q = q(x). А в силу линейности преобразования т придём к (3).«
Следствие 1. Пусть — ЛОДО. Тогда
4. Преобразование сопряжения .
35
Определение 2. Дифференциальный оператор L называется самосопряжённым, если L = L*.
Необходимым условием самосопряжённости оператора является чётность его порядка.
