Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3. Формальный антисамосопряжённый оператор — это оператор нечётного порядка, совпадающий со своим формально антисопряжённым: L = —L*.
4.2. Факторизация самосопряжённых и антисамосопряжённых операторов
Предложение 4. Самосопряжённый оператор L можно представить в виде
Im 1
L = П (?kD - ак) = l[(?kD + ?'k+ ак) Д (?kD - ак). (6)
к=2т к=1 к=т
• Действительно, в силу (5), L можно представить так:
т 1
L= Y[(?kD + ?'k + ak) H (?kD-ak)
к=1 к=in
Отсюда ?k = ?2m+i-k, ?'k + ак = -a2m+i-k, к = 1, m, т. е. получим (6).» Частный случай. Пусть /3=1. Тогда
m 1
L=\[{D + ak)\[{D-ak). (б1)
к=1 к=т
Теорема 1. (Якоби) (см. Айне [4]). Всякий самосопряжённый оператор может быть представлен (с точностью до знака) в виде произведения двух взаимно сопряжённых операторов:
L = ±L\Li, ordii=m, ordi = 2m. (7)
• Формула (7) следует из (6). Имеем верхний знак, если m является чётным, и нижний знак, если то не является чётным числом.*
Предложение 5. Антисамосопряжённый оператор L может быть представлен в виде:
і
Д (?kD-ak) =
fe=2m+l
т „1
= Y[(?kD + ?'k + ak)(-2 am+1dxD - am+1) \[{?kD - ak). (8)
k=l k=m
36 Глава 1
• В силу (5) имеем систему уравнений /3? = ?2m+2-k, /? + ак = = -a-rn+2-k, ?'m+i + o-m+i = -«m+i, отісуда ?m+1 = -2/am+idx, т.е. придём к (8).«
Частный случай. /3? = 1, к = 1, 2т + 1 => am+i = О,
m 1
L = [](D + at)Dl](D-afe). (81)
к=1 к=т
Теорема 2. (Дарбу) (см. Айне [4]). Всякий антисамосопряжённый оператор можно представить в виде
L = ±L*1DL1, ord?i=m, ord? = 2m + l. (9)
• Формула (9) следует из (8), причём верхний знак берётся, если т чётное, нижний — если т нечётное.*
4.3. Самосопряжённые дифференциальные уравнения чётного и нечётного порядков
Определение 4. Уравнение Ly = 0 назовём самосопряжённым, если оператор L является самосопряжённым в случае чётного порядка или антисамосопряжённым (в случае нечётного порядка).
Прежде всего найдём выражение для L*, если L = YIk=O akDk. Согласно (1) и (2), имеем
п п k
L- = B--)fe-^ = ??(--П rMr)Dk~r-
к=0 ^Or=O ^ '
Изменив в полученной двойной сумме порядок суммирования по формуле типа Дирихле (6), придём к следующему выражению
^ = ??(-1)4* M*-^. (ю)
г=0 к=г '
Теорема 3 (Беркович [23], Krall Н. [335]). Для того чтобы уравнение
2п
Ly = Y,a.kDky = Q, акеСк (11)
к=0
4. Преобразование сопряжения ... 37
(ак — непрерывные и к раз дифференцируемые функции в интервале I вещественной переменной х) было самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы оно могло быть записано в виде
^EE (-1)^(*)^?^^-","' = ? (12)
k=0 fc+i 4 7
г=[ —]
причём коэффициенты с нечётными индексами выражаются через коэффициенты с чётными индексами с помощью формул:
°2*i = ^№ + *^)r\2*-l)BKc^$, S = O^T, (13)
г=1 ^ 7
где Вт — числа Бернулли индекса то.
Напомним, что числа Бернулли определяются соотношениями
B0 = I, Bn = Y(I)Bk, п>2, (14)
k=o ^ 7
откуда следует, что В2т_\ = 0, кроме В\ = —1/2.
Пример 1. Самосопряжённое уравнение порядка 10:
а10у^ + 5а'10у^ + asyW + (4а'8 - 30а'{'0)у^ + а6у^ +
+ (За'6 - 144" + ™a<$)yW + о4У(4) +
(2а'4 - 54" + 28t45) - 2ЬЬа[^)у'"+
+а2у" + (а'2 - 4" + 3<4б) - 17t47) + looaftV + аоУ = 0-Теорема 4 (Беркович [23], Krall А. [334]). Для того чтобы уравнение
2и+1
Ly=Y akDkV = 0 (15)
к=0
было самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы оно могло быть представлено
E E (-.)*(%+,)^«w«^V--<k т
fe=0 r=[fe/2] V 7
38
Глава 1
причём коэффициенты с чётными индексами выражаются через коэффициенты с нечётными индексами с помощью соотношений:
п—S+1
«а.= ? (2S+22; V^*-I)B2^L1, Я = ОТЇЇ. (17)
г=1 ^ '
Пример 2. Самосопряжённое уравнение порядка 9:
а9у^ + + а7У™ + (la'7 - 21<) у^ + аъу^Ч
^a'6-fa^ + 63a^y^+a3y"'+
За, _ 5 , 21а(Б) _ 153 (7)
,,(Ii 1 w , 1 (5) 17 (7) . 31 (9) \ „
+аіу + ( 2аі - 4аз +2?- -та7 + уа?> J У = °-
Следствие \. Для того чтобы от (10)-(12), (15)-(17) перейти к самосопряжённым уравнениям более низкого порядка, достаточно положить параметры, индексы которых превосходят порядок уравнения, равными нулю.
4.4. Об умножения дифференциального оператора слева на функцию
В этой главе не используются преобразования зависимой и независимой переменных. Однако преобразование оператора можно осуществлять также с помощью операции умножения на него функции слева.
Рассмотрим несколько примеров применения указанной операции.
Пример 3. Привести оператор 2-го порядка к самосопряжённому виду. Пусть L = (D — U2)(T) — а\). Умножим слева L на f(x), где f(x) = = ехр(— J(а\ + a2)dx). Тогда fL = а2Т>2 + а'2Т> + а^, причём а2 = /, а'2 = —f(ai + а2), CiQ = f(a2a\ — а[), но это означает, что fL — самосопряжённый оператор.
Пример 4. Привести самосопряжённый оператор 2-го порядка ко 2-й итерации (к квадрату) соответствующего оператора 1-го порядка.
Пусть L= (V — Ct)[T) + а). Возьмём f(x) = ехр(4 J adx). Тогда fL = = [ехр(2 J ctdx)(V - а)}2.
