Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Эффективность совместного использования факторизации и преобразований для линейных ОДУ была реализована в монографии автора [50], опубликованной в 1989 г.
Метод автономизации нелинейных уравнений, позволяющий эффективно находить т.н. преобразование Куммера-Лиувилля (когда это воз-
Введение
13
можно), является в соответствующих случаях альтернативой классической теории С. Ли поиска точечных симметрии. Он был представлен автором еще в 1969-1971 гг. [26].
Метод точной линеаризации (МТЛ) нелинейных ОДУ был анонсирован автором в 1974-1976 гг. [28, 29]. В данной работе ему уделяется большое внимание. Удалось построить не только класс линеаризуемых уравнений гг-го порядка, но и найти явный вид через квадратуры линеаризующего преобразования. Этот метод оказался непосредственно связан со следующей концепцией нелинейного принципа суперпозиции (НПС), которая широко используется в книге.
Мы будем говорить, что данное нелинейное уравнение обладает НПС, если его общее решение может быть выражено в виде функции {произвольной или конкретной) от решений преобразованного линейного уравнения.
Иными словами, указать НПС — это значит указать нелинейные преобразования переменных, сводящие данные нелинейные уравнения к линейным.
Совместное использование факторизации и преобразований позволило создать целостную картину, объединяющую линейные и нелинейные уравнения. Слово «нелинейность», которое буквально означает «отсутствие линейности» больше не является синонимом области, лежащей за пределами доступного пониманию.
Хотя в книге большое внимание уделено именно разработке регулярных методов интегрирования ОДУ, тем не менее не принижается и роль т. н. эвристических подстановок и способов. Но они трактуются не как удачи в результате игры случая, а как следствия предварительного знания, уровень которого повышается по мере создания новых методов.
«Учёные глубоко заблуждались бы, игнорируя тот факт, что теоретическая конструкция — не единственный подход к явлениям науки; для нас одинаково открыт и другой путь — понимание изнутри...» (Вейль Г. Избранные труды. M.: Наука, 1984). Но это необходимо не только для процесса открытия в науке, но также для процессов изучения и преподавания. У студентов и аспирантов особенно важно развивать то, что П. С. Александров назвал «интуицией формулы», способностью предвидеть результат сложного преобразования. Так, например, в гл. 4 и гл. 5 представлены тесты автономизации и точной линеаризации, которые основаны не только на полученных теоретических результатах, но и на интуитивном (предварительном) знании вида решения линейного приводимого уравнения, а также знания структуры линеаризуемого нелинейного уравнения соответственно.
В результате развития вышеуказанных методов удалось приступить к систематическому исследованию нестационарных и нелинейных задач естествознания. При этом были получены точные решения для ряда
14
Введение
задач, а также установлены явные математические выражения некоторых физических законов. Это особенно важно в связи с происходящей в настоящее время делинеаризацией различных и подчас весьма далеких друг от друга областей Науки наряду с установлением аналогий между ними. Не случайно девизом Третьего Всемирного конгресса нелинейных аналитиков WCNA-2000, состоявшегося в июле 2000 г. в Италии (Катания, Сицилия), были слова: «Единство через различия».
Состояние, симметрии, закон — эти три слова характеризуют связь существующего с возникающим, описываемую ДУ. Информацию о состоянии можно получить из наблюдений над физической системой, но она — неполная, т. к. наблюдатель ограничен «окошком конечной ширины». Поэтому информацию, почерпнутую из наблюдений, необходимо дополнить соображениями, связанными с симметриями системы, как очевидными (например, геометрическими и некоторыми физическими), так и скрытыми. Сам же закон должен представлять явную формулу (алгоритм), вмещающую в сжатом виде результаты наблюдения и прогноза. Поиск физического закона, таким образом, представляет собою решение прямой или обратной задач теории ОДУ
Под прямой задачей теории ОДУ в работе, как обычно, понимается нахождение их решений, а под обратной задачей — построение функциональных зависимостей коэффициентов уравнений, для которых известны либо решения, либо вид уравнений, в которые они могут быть преобразованы (т. е. приняты гипотезы о допускаемых ими симметриях). Впрочем, одни и те же законы могут являться решениями и прямой, и обратной задач, но только для разных уравнений.
Но сам физический закон также может быть выражен дифференциальным уравнением.
Классическое нелинейное уравнение 1-го порядка Бернулли является тому примером. Специальными случаями его являются и дифференциальный закон Эддингтона - Джинса изменения массы небесных тел и логистическое уравнение, описывающее эволюцию некоторой популяции и др.
Характеризуя содержащиеся в работе конкретные результаты, условно их можно разбить на три части. Некоторые результаты получены впервые. Другие — усиливают известные результаты до такой степени, что они в определенном смысле являются неулучшаемыми. Наконец, приведены известные примеры, для исследования которых применены более эффективные методы.
