Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова и метод автономизации .............................235
Оглавление 5
6. Системы Ермакова......................... 244
7. Классификация ОДУ гг-го порядка со степенной нелинейностью ................................. 252
Примечания к гл. 4.......................... 255
Глава 5. Новый метод точной линеаризации............ 256
1. Линеаризация уравнений и факторизация............ 257
2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка 268
3. Иллюстративные примеры.................... 276
4. Линеаризация некоторых классов динамических систем второго порядка............................ 280
5. Точная линеаризация одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.................. 289
6. Линеаризация лиувиллевых систем............... 291
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка 294
8. Уравнения Эйлера для гироскопа и простейшие системы гидродинамического типа....................... 304
9. О некоторых интегрируемых случаях динамики твердого тела 311
10. Факторизация нелинейных дифференциальных операторов . . 316
11. Об уравнении, рассматривавшемся Миттаг-Леффлером .... 320
12. О некоторых специальных нелинейных уравнениях...... 328
13. Об уравнении из теории автоколебаний, рассматривавшемся
Н. Н. Баутиным........................... 332
Примечания к гл. 5.......................... 337
Глава 6. Исследование нестационарных задач небесной механики 341
Введение................................. 341
1. Различные постановки нестационарных задач N тел..... 343
2. Различные постановки нестационарной задачи двух тел . . . 344
3. Групповой анализ и автономизация обыкновенных дифференциальных уравнений ..................... 347
4. Групповой анализ и автономизация обобщенной нестационарной задачи двух тел...................... 355
5. Законы изменения массы в задаче Гильдена-Мещерского и редукция к канонической форме................. 359
6. Редукция к задаче Гильдена-Мещерского........... 362
7. Уравнение Бернулли как дифференциальный закон изменения массы ............................. 371
Примечания к гл. 6.......................... 376
6
Оглавление
Глава 7. Прямые методы нахождения инвариантных решений эво-
люционных уравнений ......................377
1. Применение метода преобразований к уравнению КПП и некоторым другим уравнениям..................379
2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений уравнения КПП и связанных с ним уравнений Семенова и Зельдовича.............................393
3. Автомодельное решение одного квазилинейного параболического уравнения..........................402
4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений.....407
Примечания к гл. 7.......................... 413
Вместо заключения: Открытый вопрос............... 423
Литература............................... 424
Именной указатель .......................... 454
Предметный указатель........................ 460
Предисловие
Автор предлагаемой читателю книги — Лев Мейлихович Беркович — является одним из ведущих современных специалистов в области точного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и его приложений. Он начал заниматься указанной тематикой в начале 60-х годов XX столетия, за несколько лет до революции, происшедшей в нелинейной физике и связанной с возрастанием числа точно решаемых (интегрируемых) моделей классической теории поля.
В механике никогда не ослабевал интерес к интегрируемым задачам, но связан он был, главным образом, с возможностью редукции к классическим интегрируемым системам. Исключение составляло начавшееся по инициативе Г. Биркгофа, Л. И. Седова и Л. В. Овсянникова применение теории групп Ли и алгебр Ли к гидродинамике и газовой динамике с целью нахождения инвариантных решений.
Что касается математики, то создание в конце XIX века усилиями А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова качественной теории дифференциальных уравнений и дальнейшее ее развитие надолго отбило интерес в среде математиков к проблемам интегрируемости. Заниматься ими считалось неблагодарным делом. В России, например, в первой половине XX века едва ли не единственным ученым, серьезно занимавшимся указанными проблемами, был Д. Д. Мордухай-Болтовской.
Проблема точного интегрирования дифференциальных уравнений (ДУ) имеет несколько аспектов. Геометрический аспект связан с качественным исследованием регулярного поведения траекторий интегрируемых систем. Примером служит известная геометрическая теорема Лиувилля о расслоении фазового пространства вполне интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Конструктивный аспект связан с отысканием условий, при которых можно указать алгоритм явного решения ДУ с помощью квадратур. В качестве примеров можно указать теорему Эйлера-Якоби об интегрируемости системы п уравнений, допускающих п—2 независимых первых интегралов и инвариантную меру, и теорему Ли о системах с разрешимой группой симметрии. Эти алгоритмы дают принципиальную возможность отыскания полного решения, однако их реализация, как правило, упирается в проблемы принципиального характера (например, явное решение систем алгебраических уравнений). В связи с этим возникает еще один важный аспект рассматриваемого круга вопросов — явное решение систем ДУ.
